正十六胞體堆砌

在四維空間幾何學中，正十六胞體堆砌是三種四維空間正堆砌體之一，由正十六胞體獨立堆砌而成，每個條稜周圍都環繞著3個正十六胞體，其頂點圖為正二十四胞體。正十六胞體堆砌的對偶多胞體是正二十四胞體，換句話說即正二十四胞體的頂點恰位於正十六胞體堆砌每個胞的幾何中心，反之正十六胞體堆砌的頂點也位於正二十四胞體每個胞的幾何中心。

正十六胞體堆砌
類型	正四維堆砌
維度	4
對偶多胞形	正二十四胞體堆砌
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,3,4,3}
性質
四維胞	{3,3,4}
胞	{3,3}
面	{3}
歐拉示性數	0
組成與佈局
棱圖	立方體
頂點圖	正二十四胞體
對稱性
考克斯特群	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ = [3,3,4,3]
特性
正
閱 論 編

由於正十六胞體堆砌是一種完全密鋪完四維空間的一種幾何結構，就像是二維空間的平面三角形網格在四維空間的類比。正十六胞體堆砌的頂點排佈（英語：vertex arrangement）所形成的四維網格又稱為${\displaystyle {\mbox{B}}_{4}}$, D₄或F₄網格（英語：F4 (mathematics)#F4_lattice）^[1][2]

性質

正十六胞體堆砌是一種由正十六胞體完全密鋪於四維空間的幾何結構，每個三角形面周圍都有3個正十六胞體，在施萊夫利符號中以 ${\displaystyle \left\{3\,,3\,,4\,,3\right\}}$ 表示；每條稜周圍都有6個正十六胞體，稜圖為立方體；每個頂點都是24個正十六胞體的公共頂點，頂點圖為正二十四胞體。其對稱性為考克斯特群的${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$群，在考克斯特表示法（英語：Coxeter_notation）中可記為 ${\displaystyle \left[3\,,3\,,4\,,3\right]}$。

頂點座標

正十六胞體堆砌是一個正堆砌體，與二維的三角形鑲嵌類似，可視為{4,3,3,4}通過交錯變換的結果，並且與四面體-八面體堆砌（英語：Tetrahedral-octahedral honeycomb）相關。

正十六胞體堆砌可以被放置在整數座標 ${\displaystyle \left(i\,,j\,,k\,,l\right)}$ 上，其中i、j,k,l的和必須是偶數。

D4網格

正十六胞體堆砌的頂點排佈（英語：vertex arrangement）稱為D₄網格或F₄網格^[2]。以這些頂點為幾何中心的三維超球可以構成四維空間中可能的正超球體填充中最緊密的一種排佈^[3]，其牛頓數（英語：Kissing number）為24。

=

另一種網格，D+
4網格（又稱為D2
4網格）可以透過兩個半超立方體網格聯集構成，且與超立方體堆砌相關：

∪ = =

這種空間填充網格僅能存於偶數維度的空間。其牛頓數（英語：Kissing number）為二的三次方等於8^{[註 1][5]}。

The D*
4網格（也稱為D4
4或C2
4）可以透過所有四個D₄網格的聯集來構成，但其與D₄網格相同，同時他也是2個超立方體堆砌放置在對方的對偶位置的聯集，也就是四維空間中立方晶系結構^[6]。

∪ ∪ ∪ = = ∪

D*
4網格的牛頓數（英語：Kissing number）為24^[7]，其沃羅諾伊圖為正二十四胞體堆砌（），並包含所有的截半正十六胞體（即正二十四胞體）之沃羅諾伊胞，在考克斯特記號中計為或^[8]。

不同對稱性的結構

名稱	考克斯特群	施萊夫利符號	考克斯特記號	頂點圖 對稱性	維面
正十六胞體堆砌	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ = [3,3,4,3]	{3,3,4,3}		[3,4,3], 1152階	24： 正十六胞體
四維堆砌	${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$ = [31,1,3,4]（英語：Template:B4 honeycombs）	= h{4,3,3,4}	=	[3,3,4], 384階	16+8： 正十六胞體
	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$ = [31,1,1,1]（英語：Template:D4 honeycombs）	{3,31,1,1} = h{4,3,31,1}	=	[31,1,1], 192階	8+8+8： 正十六胞體

相關多胞體與堆砌

正十六胞體堆砌是四維空間三種正堆砌體之一，其他的四維空間正堆砌體有：

圖像	超立方體堆砌	正十六胞體堆砌	正二十四胞體堆砌
施萊夫利符號	{4,3,3,4}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3}

D5堆砌體
擴展對稱性（英語：Coxeter notation#Extended_symmetry）	擴展符號	擴展群	堆砌體
[31,1,3,31,1]		${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$
<[31,1,3,31,1]> ↔ [31,1,3,3,4]	↔	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×21 = ${\displaystyle {\tilde {B}}_{5}}$	, , , , , ,
[[31,1,3,31,1]]		${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×22	,
<2[31,1,3,31,1]> ↔ [4,3,3,3,4]	↔	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×41 = ${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$	, , , , ,
[<2[31,1,3,31,1]>] ↔ [[4,3,3,3,4]]	↔	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×8 = ${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$×2	, ,

參見

• 無限胞體
• 超立方體堆砌

註釋

1. 當n<8時為2^n-1；n=8時為240；n>8時為2n(n-1)

參考文獻

1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
   • pp. 154–156: Partial truncation or alternation, represented by h prefix: h{4,4} = {4,4}; h{4,3,4} = {3^1,1,4}, h{4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
   • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
3. George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
4. Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org. x3o3o4o3o - hext - O104

1. The Lattice F4. math.rwth-aachen.de. [2016-08-22]. （原始內容存檔於2020-01-16）.
2. The Lattice D4. math.rwth-aachen.de. [2016-08-22]. （原始內容存檔於2020-02-21）.
3. O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651.
4. Conway JH, Sloane NJH. Sphere Packings, Lattices and Groups 3rd. 1998. ISBN 0-387-98585-9.
5. Conway（1998）^[4], p. 119
6. Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, 7.4 The dual lattice D₃^*, p.120
7. Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 120
8. Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 466