正六百胞體

幾何學中，正六百胞體（hexacosichoron）是四維凸正多胞體，施萊夫利符號是{3,3,5}，有時候會視為正二十面體的四維類比。

正六百胞體 （600胞體）
類型	正多胞體
家族	類二十面體形
對偶多胞形	正一百二十胞體
識別
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ex
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,3,5}
性質
胞	600 (3.3.3)
面	1200 {3}
邊	720
頂點	120
組成與佈局
頂點圖	(3.3.3.3.3)
對稱性
對稱群	H4, [3,3,5]
特性
凸多胞形, 點可遞, 邊可遞, 面可遞
閱 論 編

二維線架正投射

正六百胞體的邊界有600個正四面體胞、1200個正三角形面、720條邊和120個頂點。每一頂點有20個正四面體相接。

幾何性質

正六百胞體的對偶多胞體是正一百二十胞體。 正六百胞體的頂點圖是正二十面體。
邊長為a的正六百胞體超體積為${\displaystyle {\frac {50+25{\sqrt {5}}}{4}}a^{4}}$，表體積為50√2a³。

以原點為中心，邊長為 1/φ 的正六百胞體（其中φ = (1+√5)/2是黃金比例），頂點坐標如下：16個頂點形式如下

(±½,±½,±½,±½)，

8個頂點從下列坐標不同排列得出

(0,0,0,±1)，

剩下96個頂點是下列坐標的偶置換

½(±1,±φ,±1/φ,0)。

如果一個正六百胞體的棱長為1，則其外接超球半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618\end{smallmatrix}}}$即黃金分割比；其外中交超球(經過正六百胞體每條棱的中點)半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {\sqrt {2{\sqrt {5}}+5}}{2}}\approx 1.538\end{smallmatrix}}}$；其內中交超球（經過正六百胞體每個面的中心）半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}}{6}}\approx 1.512\end{smallmatrix}}}$；其內切超球半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.498\end{smallmatrix}}}$ 。

注意到首16個頂點構成超正方體，次8個構成正十六胞體。這24個頂點一起構成正二十四胞體，事實上，如果移除這24個頂點，就會得到另一個有意思的半正多胞體扭棱正二十四胞體（英語：Snub 24-cell）（Snub Icositetrachoron）。

對稱群構造

如果把坐標看作四元數，正六百胞體的120個頂點以四元數乘法組成群。這個群通常稱為雙二十面體群，因為它是二十面體群I的雙重覆蓋。這個雙十二面體群也可被看作是正六百胞體的旋轉（無反射）對稱群，因為單位四元數的乘法等同於點的旋轉，也因此雙十二面體群是H₄群的一個子群。雙二十面體群同構於特殊線性群SL(2,5)。

正六百胞體的對稱群是H₄的外爾群，這個群的階是14400。

可視化

正六百胞體的胞眾多，並且這些正四面體胞基本上沒有什麼規律可循，為正六百胞體的可視化帶來了許多困難，但作為正一百二十胞體的對偶，許多正一百二十胞體的性質也表現在正六百胞體上。

大圓結構

正一百二十胞體的10個會首尾相連，構成「大圓」，這些胞與正六百胞體的頂點對偶，它們也會互相連接形成一個正十邊形，這正十邊形的每一條邊周圍都有5個正四面體共這條邊，這種結構看上去就像有稜有角的飛盤。正十邊形相鄰的兩條棱周圍的兩簇正四面體中間會有空隙，我們可以在填入10個正四面體使其構成正二十面體，這樣你就會得到一個涉及150個胞、10條棱、100個裸露的正三角形面的環形結構，我們還可以在向這些面上填上正四面體，會得到一個涉及250個胞的有50個突出的頂點和100條凹陷的棱的大圓，它與另一條與之正交的250胞環在頂點處咬合，剩餘的棱的空隙是剩餘的100個胞。現在，如果我們去掉這兩條大圓最初的10個頂點，我們就會得到四維唯一的非Wythoff（英語：non-Wythoffian）凸半正多胞體（英語：convex uniform polychoron）——重反稜柱（英語：Grand Antiprism），原來的大圓處留下了各10個正五反稜柱，並剩下了300個正四面體胞。

參考

• 600-cell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 逐層剖析了正六百胞體的表分層結構
• Regular Convex Four-Dimensional Polytopes^{[永久失效連結]}提供了正六百胞體的幾何數據

四維正多胞體
正五胞體	超立方體	正十六胞體	正二十四胞體	正一百二十胞體	正六百胞體
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}