模糊集

模糊集是模糊數學上的一個基本概念，是數學上普通集合的擴展。

定義

給定一個論域${\displaystyle U}$ ，那麼從${\displaystyle U}$到單位區間${\displaystyle [0,1]}$的一個映射${\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]}$稱為${\displaystyle U}$上的一個模糊集，或${\displaystyle U}$的一個模糊子集^[1]。

表示

模糊集可以記為${\displaystyle A}$。映射（函數）${\displaystyle \mu _{A}(\cdot )}$或簡記為${\displaystyle A(\cdot )}$叫做模糊集${\displaystyle A}$的隸屬函數。對於每個${\displaystyle x\in U}$， ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$叫做元素${\displaystyle x}$對模糊集${\displaystyle A}$的隸屬度。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

1. 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
2. Zadeh記法，例如${\displaystyle A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}}$。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。
3. 序偶法，例如${\displaystyle A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}}$，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
4. 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如${\displaystyle A=(1,0.5,0.72,0)}$。

和傳統集合的關係

和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣^[2]。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間${\displaystyle [0,1]}$（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集${\displaystyle A}$的歸屬函數為${\displaystyle M}$ ，而${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$為三個元素；如果${\displaystyle M(a)=1}$，${\displaystyle M(b)=0}$，${\displaystyle M(c)={\frac {1}{2}}}$，則可以說 「${\displaystyle a}$完全屬於${\displaystyle A}$」，「${\displaystyle b}$完全不屬於${\displaystyle A}$」，「${\displaystyle c}$對${\displaystyle A}$的歸屬度為${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$」（注意沒有說「${\displaystyle c}$有一半屬於${\displaystyle A}$」，因為尚未規定${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函數（indicator function）^[3]。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

截集與截積

設 ${\displaystyle A}$為 ${\displaystyle U}$上的模糊集（記作 ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}(U)}$），任取 ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$，則

${\displaystyle A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}}$，

稱${\displaystyle A_{\lambda }}$為${\displaystyle A}$的${\displaystyle \lambda }$截集，而${\displaystyle \lambda }$稱為閾值或置信水平。將上式中的${\displaystyle \geq }$替換為${\displaystyle >}$，記為${\displaystyle A_{S\lambda }}$，稱為強截集。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然${\displaystyle A_{1}}$為${\displaystyle A}$的核，即${\displaystyle \ker A}$；如果${\displaystyle \ker A\neq \varnothing }$，則稱${\displaystyle A}$為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積：

設${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$，${\displaystyle A\in F(U)}$，則${\displaystyle \forall u\in U}$，${\displaystyle \lambda }$與${\displaystyle A}$的截積（或稱為${\displaystyle \lambda }$截集的數乘，記為${\displaystyle \lambda A}$）定義為：

${\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}}$

根據定義，截積仍是${\displaystyle U}$上的模糊集合。

分解定理與表現定理

分解定理：

設${\displaystyle A\in F(U)}$，則

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}$

即任一模糊集${\displaystyle A}$都可以表達為一族簡單模糊集${\displaystyle \left\{\lambda a_{\lambda }\right\}}$的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理：

設${\displaystyle H}$為${\displaystyle U}$上的任何一個集合套，則

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}$

是${\displaystyle U}$上的一個模糊集，且${\displaystyle \forall \lambda \in [0,1]}$，有

（1）${\displaystyle A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )}$

（2）${\displaystyle A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )}$

即任一集合套都能拼成一個模糊集。

模糊度

一個模糊集${\displaystyle A}$的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設映射${\displaystyle D:F(U)\rightarrow [0,1]}$滿足下述5條性質：

1. 清晰性：${\displaystyle D(A)=0}$若且唯若${\displaystyle A\in P(U)}$。（經典集的模糊度恆為0。）
2. 模糊性：${\displaystyle D(A)=1}$若且唯若${\displaystyle \forall u\in U}$有${\displaystyle A(u)=0.5}$。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
3. 單調性：${\displaystyle \forall u\in U}$，若${\displaystyle A(u)\leq B(u)\leq 0.5}$，或者${\displaystyle A(u)\geq B(u)\geq 0.5}$，則${\displaystyle D(A)\leq D(B)}$。
4. 對稱性：${\displaystyle \forall A\in F(U)}$，有${\displaystyle D(A^{c})=D(A)}$。（補集的模糊度相等。）
5. 可加性：${\displaystyle D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)}$。

則稱${\displaystyle D}$是定義在${\displaystyle F(U)}$上的模糊度函數，而${\displaystyle D(A)}$為模糊集${\displaystyle A}$的模糊度。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的^[4]，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是
${\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}}$
其中${\displaystyle p>0}$是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當${\displaystyle p=1}$的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當${\displaystyle p=2}$的時候稱為 Euclid 模糊度。

模糊測度(Fuzzy measures)

${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是輿集${\displaystyle \mathrm {X} }$的一種。

用${\displaystyle g}$函數定義${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①${\displaystyle g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1}$

---${\displaystyle g}$函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。${\displaystyle g}$函數代${\displaystyle X}$表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$和${\displaystyle A\subseteq B}$, 則${\displaystyle g(A)\leq g(B)}$.

---${\displaystyle A,B}$是屬於${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$的一部分，${\displaystyle A}$在${\displaystyle B}$裡面也可能跟${\displaystyle B}$一樣大，則${\displaystyle g(A)\leq g(B)}$

③If ${\displaystyle A_{n}}$∈${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, ${\displaystyle A_{1}}$⊆${\displaystyle A_{2}}$⊆…,then ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})}$

---當${\displaystyle A_{n}}$屬於${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$同時${\displaystyle A_{1}}$包含於${\displaystyle A_{2}\subseteq \ldots }$，則將${\displaystyle A_{n}}$代入${\displaystyle g}$函數趨小所得的值等同於先趨小${\displaystyle A_{n}}$再代入${\displaystyle g}$函數所求得的值。

模糊量測(measures of fuzziness)

模糊集的運算

各種算子

• Zadeh 算子，${\displaystyle \max }$即為並，${\displaystyle \min }$即為交

${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}}$

• 代數算子（概率和、代數積）

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}}$

• 有界算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}}$

• Einstein 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}}$

• Hamacher 算子，其中${\displaystyle \nu \in [0,+\infty )}$是參數，等於1時轉化為代數算子，等於2時轉化為 Einstein 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}}$

• Yager 算子，其中${\displaystyle p}$是參數，等於1時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \lambda -\gamma }$算子，其中${\displaystyle \lambda ,\gamma \in [0,1]}$是參數

${\displaystyle {\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}}$

• Dobois-Prade 算子，其中${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$是參數

${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}}$

算子的性質

參見集合代數和布爾代數。

主要算子的性質對比表如下（.表示不滿足，-表示未驗證）：

算子	結合律	交換律	分配律	互補律	同一律	冪等律	支配律	吸收律	雙重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代數	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

線性補償是指：${\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))}$^[5]

算子的並運算	冪等律	排中律	分配律	結合律	線性補償
Zadeh	√	.	√	√	.
代數	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊集之間的距離

使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集${\displaystyle F(U)}$上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到${\displaystyle [0,1]}$區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：

${\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}}$

貼近度

主條目：貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離（這裡的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

• 最大最小貼近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}}$

• 算術平均最小貼近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}$

• 幾何平均最小貼近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}}$

• 指數貼近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}}$

參見

• 粗集合
• 解模糊

參考文獻

1. 要注意，嚴格地說，模糊集或子集是映射所確定的序對集，但由於模糊子集完全由其隸屬函數所確定，因而我們不區分映射和映射所確定的序對集，而總是直接把模糊子集定義為一個滿足上述定義的映射。
2. L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2007-11-27.. Information and Control 8 (3) 338–353.
3. D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
4. 陳水利等，模糊集理論及其應用，科學出版社，2005年，第20頁。
5. Etienne E. Kerre 等，模糊集理論與近似推理，武漢大學出版社，2004年，第103頁。