朗道分布

在機率論中，朗道分布（英語：Landau distribution）^[1]是因物理學家列夫·朗道而得名的一種機率分布。由於它所具有的「長尾」現象，這種分布的各階矩（如數學期望值與變異數）都因發散而無法定義。這種分布是穩定分布的一個特例。

朗道分布

機率密度函數 ${\displaystyle \mu =0,\;c=\pi /2}$
母數	${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ — 寬度母數 ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ — 位置母數
值域	${\displaystyle \mathbb {R} }$
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}}$
期望值	無定義
變異數	無定義
動差母函數	無定義
特徵函數	${\displaystyle \exp \left(i\mu t-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

定義

標準朗道分布的機率密度函數由以下複積分式表示，

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,}$

其中c為任意正實數，log 為自然對數。可以證明，上式結果與c的取值無關。在複數平面上做圍道積分，可得到便於計算的實積分式，

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

上式即 ${\displaystyle \mu =0,\;c=\pi /2}$ 的標準朗道分布機率密度函數。通過將標準朗道分布擴展到一個位置-尺度分布族，就可以獲得完整的朗道分布族

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}.}$

其特徵函數可表示如下，

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \!\left(i\mu t-c|t|-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|\right),}$

兩個實母數的取值範圍 ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$，${\displaystyle c\in (0,\infty )}$，調整 ${\displaystyle \mu ,\;c}$ 分別實現朗道分布的平移和縮放^[2]。

相關性質

朗道分布在 ${\displaystyle \mu =0,\,c=1}$ 的近似

從特徵函數出發可以推導出：

• 平移：若 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)}$ 則 ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)}$。
• 縮放：若 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)}$ 則 ${\displaystyle aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -2ac/\pi \cdot \log {a},\,ac)}$。
• 可加性：若 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1}),\,Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})}$ 則 ${\displaystyle X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},\,c_{1}+c_{2})}$。

以上三條性質保證了朗道分布是一種穩定分布，它的穩定母數和偏度母數 ${\displaystyle \alpha =\beta =1}$。^[3]

當 ${\displaystyle \mu =0,\,c=1}$ 時，朗道分布可以近似表示為^[4][5]

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.}$