阻尼正弦波

阻尼正弦波（英語：damped sine wave）是振幅會隨時間增長而趨向零的正弦波函數^[1]。

${\displaystyle y(t)=e^{-t}\cdot \cos(2\pi t)}$

當諧振子消耗的能量比供應的能量多，其波形即為阻尼正弦波，此函數常用在科學及工程中。

定義

許多振動的現象可以用正弦波來描述，若振動系統中有阻尼，其振幅會隨著時間而減少。

真正的正弦波在時間為0時從原點開始（振幅為0），餘弦波和正弦波有相位差，在原點時有最大值。在實務上的弦波可能具有正弦及餘弦的份，因此「阻尼正弦波」也包括這些不同相位的弦波在有阻尼時的波形。

最常見的阻尼是指數衰減阻尼，其數個波峰形成的包絡線為指數衰減的曲線，一般也常假設阻尼是指數衰減阻尼的形式。

方程

指數衰減的弦波其方程如下：

${\displaystyle y(t)=A\cdot e^{-\lambda t}\cdot (\cos(\omega t+\phi )+\sin(\omega t+\phi ))}$

其中

${\displaystyle y(t)}$為時間t的瞬時值

${\displaystyle A}$為包絡線的初始值

${\displaystyle \lambda }$為遞減常數，其單位是X軸時間的倒數

${\displaystyle \phi }$是特定點的相位角

${\displaystyle \omega }$是角頻率

可以簡化為

${\displaystyle y(t)=A\cdot e^{-\lambda t}\cdot (\cos(\omega t+\phi ))}$

其中：

${\displaystyle \phi }$為t = 0的相位角

其他重要的參數有：

週期${\displaystyle \tau }$，是單一循環需要的時間，單位為時間t，是頻率的倒數，也就是${\displaystyle f^{-1}}$。

頻率${\displaystyle f}$，是單位時間內的週期數，等於${\displaystyle \omega /(2\pi )}$，是週期的倒數，也就是${\displaystyle \tau ^{-1}}$，其單位是時間的倒數。

半衰期是振幅包絡線減為原來一半需要的時間，等於${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$，大約是${\displaystyle 0.693/\lambda }$。

阻尼比${\displaystyle \zeta }$，是有關其衰減速率相對於頻率的無因次特徵，近似於${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$，精確值為${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1}$。

品質因子${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$，是另一個描述阻尼的無因次特徵，品質因子高表示阻尼相對於振盪的影響要小。

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參考資料

1. Douglas C. Giancoli (2000). [Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics (3rd Edition)]. Prentice Hall. ISBN 0-13-021517-1