曲線的扭率

在初等三維曲線的微分幾何中，一條曲線的扭率（torsion，或譯扭率）度量了其扭曲的程度，即偏離平面曲線的程度。空間曲線的曲率和扭率在一起，與平面曲線的曲率類似。例如，他們都是弗勒內標架的微分方程組中的係數，由弗勒內-塞雷公式給出。

本文討論於三維空間中曲線的扭率，關於扭率的其他用法，參見主條目扭率。

定義

設 C 是一條用弧長參數${\displaystyle s}$給出的空間曲線，單位切向量為${\displaystyle {\boldsymbol {t}}}$。如果在某一點 C 的曲率${\displaystyle \kappa }$不等於 0，那麼主法向量和次法向量分別是

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {t} '}{\kappa }},\quad \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} .}$

其中撇號代表對參數${\displaystyle s}$的導數。空間曲線在一點處的切向量${\displaystyle {\boldsymbol {t}}}$和主法向量${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$所張成的平面就是密切平面，密切平面的法向量${\displaystyle {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}}$是曲線的次法向量。如果曲線本身位於一個平面內，那麼這個平面就是曲線的密切平面，相應的次法向量就是常向量。如果曲線不是平面曲線，則${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$不是常向量。因為${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$是單位向量，所以${\displaystyle {\boldsymbol {b}}'}$垂直於${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$。又因為${\displaystyle {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}}$，所以${\displaystyle {\boldsymbol {b}}'={\boldsymbol {t}}'\times {\boldsymbol {n}}+{\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}'={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}'}$，故${\displaystyle {\boldsymbol {b}}'}$也垂直於${\displaystyle {\boldsymbol {t}}}$。所以${\displaystyle {\boldsymbol {b}}'}$與${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$共線。

扭率${\displaystyle \tau }$度量了次法向量在那一點旋轉的速度。由方程式

${\displaystyle \mathbf {b} '=-\tau \mathbf {n} .}$

得出

${\displaystyle \tau =-\mathbf {n} \cdot \mathbf {b} '.}$

註：次法向量的導數垂直於次法向量和切向量，從而和主法向量成比例。式中的負號僅僅是出於習慣，是這個學科歷史發展的副產品。

扭率半徑，通常記為 σ，定義為：

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\tau }}\;.}$

幾何解釋：扭率${\displaystyle \tau (s)}$度量了次法向量的方向的改變。扭率越大，次法向量關於切向量所在的軸的轉動越快。

性質

• 平面曲線的扭率處處為 0；反過來，如果一條正則曲線的扭率處處為 0，那麼這條曲線在一個平面上。
• 螺旋線的曲率和扭率都是常數；反之，任何空間曲線如果其曲率和扭率都是非零常數，必然是螺旋線。扭率為正是右手螺旋，為負是左手螺旋。
• 定傾曲線或稱一般螺線（即切向量與一個固定方向交為定角的曲線）的扭率與曲率之比為常數；反之，如果正則曲線的扭率與曲率之比為常數，那麼曲線必是定傾曲線。

另一種描述

設 r = r(t) 是空間曲線的參數方程式。假設參數是正則的且曲線的曲率處處非 0。精確地說就是，r(t)關於t三次可微，且向量${\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)}$線性獨立。

那麼扭率可以由下面的公式表達出來：

${\displaystyle \tau ={{\det \left({r',r'',r'''}\right)} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}={{\left({r'\times r''}\right)\cdot r'''} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}.}$

這裡撇號表示對 t 求導數，× 號為向量的叉積。對 r = (x, y, z)，上述公式的分量形式為

${\displaystyle \tau ={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+(x'y''-x''y')^{2}}}\;.}$

例子：圓螺旋線${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(a\cos {t},a\sin {t},bt)\ (a>0)}$的曲率、扭率都是常數，分別為

${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},\quad \tau ={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}$

參考文獻

Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag，2001 ISBN 1-85233-152-6