曲率半徑

在微分幾何中，曲率半徑R是曲率的倒數。 對於曲線上一點，曲率半徑等於最貼近該點曲線的圓弧半徑。 對於曲面上一點，曲率半徑是最貼合該點的法向截面或其組合的圓弧半徑。 ^{[1] [2] [3]}

曲率半徑與曲率中心

定義

對於空間曲線，曲率半徑是曲率矢量的長度。

對於平面曲線，則曲率半徑是曲線上固定一點的弧長的微分與切角的微分之比^[3]的絕對值

${\displaystyle R=\left\vert {ds \over d\varphi }\right\vert ={1 \over \kappa }}$

而κ是曲率。

公式

二維

更多資訊：曲率 § 平面曲線的曲率

若曲線在笛卡爾坐標中為y(x) 作為函數圖，則其曲率半徑為（假設曲線可進行二階微分）

$${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}$$

其中${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$|z|為z的絕對值。

如果曲線是關於函數x(t)和y(t)的參數方程，則其曲率半徑為

$${\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}$$

其中${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

由此啟發，該結果可以表示為^[2]

$${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}$$

其中

$${\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}$$

n維

若γ : ℝ → ℝⁿ是ℝⁿ中的參數方程曲線，則曲線上每個點的曲率半徑ρ : ℝ → ℝ ，由^[3]此可知

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

特殊情況下，若f(t)是從ℝ映射到ℝ的函數，則其圖象的曲率半徑γ(t) = (t, f (t))為

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}$$

推導過程

令γ如上，並固定t 。我們想要找到一個與t處的γ零階、一階和二階導數相匹配的參數方程圓的半徑ρ 。顯然，半徑與位置γ(t) 無關，而與速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有關。 由向量v和w只能獲得三個獨立純量，即v · v 、 v · w和w · w 。因此，曲率半徑一定是關於這三個純量函數。即 |γ′(t)|², |γ″(t)|²，γ′(t) · γ″(t) 。 ^[3]

ℝⁿ中圓的一般參數方程為

$${\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }$$

其中c ∈ ℝⁿ是圓心（無關，因為它在求導過程中消失）， a,b ∈ ℝⁿ是長度為ρ的相互垂直的向量（即， a · a = b · b = ρ²，a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t處可兩次微分任意函數。

g的相關導數為

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}$$

若現在將g的導數等同於t處γ的相應導數，可得

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}$$

關於三個未知數（ ρ 、 h′(t)和h″(t) ）的三個方程可以求解其中的ρ ，可得曲率半徑的公式為：

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}$$

提高可讀性省略參數t ，可得

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

示例

半圓與圓

對於一個半徑為a的在上半平面的半圓

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$$

橢圓(紅線)及其漸屈線 (藍線)。點是橢圓的頂點, 及最大或最小的曲率半徑的點

對於一個半徑為a的在下半平面的半圓 $${\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.}$$

該半徑為a的圓有等於a的曲率半徑。

橢圓

在長軸為2a短軸為2b的橢圓中, 長軸的頂點有該橢圓上最小的曲率半徑, ${\textstyle R={b^{2} \over a}}$; 並且短軸的頂點有該橢圓上最大的曲率半徑 R = a²/b。

令橢圓的曲率半徑是關於參數t的方程, 即^[4]

$${\displaystyle R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,,}$$

其中${\textstyle \theta =\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {y}{x}}{\Big )}=\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {b}{a}}\;\tan \;t{\Big )}\,.}$

令橢圓的曲率半徑是關於參數θ的方程, 即

$${\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}$$

其中橢圓的偏心率e, 是

$${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,.}$$

應用

• 在微分幾何中使用，參見切薩羅方程（英語：Cesàro equation）
• 在地球的曲率半徑（近似於扁橢球體）中使用；參見：弧度測量（英語：Arc measurement）
• 曲率半徑也在彎曲梁的三部分方程中使用
• 曲率半徑 (光學)
• 薄膜技術
• 印刷電子學
• 最小曲線半徑
• AFM 探測器

參考

1. Weisstien, Eric. Radius of Curvature. Wolfram Mathworld. [15 August 2016]. （原始內容存檔於2024-08-25）.
2. Kishan, Hari. Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. 2007. ISBN 9788126908202 （英語）.
3. Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. Differential and Integral Calculus Sixth. New York: MacMillan. 1962 （英語）.
4. Weisstein, Eric W. Ellipse. mathworld.wolfram.com. [2022-02-23]. （原始內容存檔於2000-02-29） （英語）.