Loading AI tools
来自维基百科,自由的百科全书
在數理邏輯中,特別是集合論中,Skolem 悖論是向下 Löwenheim-Skolem定理的直接結果,它聲稱所有一階語言的句子的模型都有一個初等等價的可數子模型。
這個悖論見於Zermelo-Fraenkel 集合論中。康托爾在 1874年發表的更早的結果是,存在不可數集合比如自然數的冪集,實數的集合,和著名的康托爾集。這些集合存在於任何 Zermelo-Fraenkel 全集中,因為它們的存在可從公理得出。使用 Löwenheim-Skolem 定理,我們可以得到只包含可數個對象的集合論的模型。但是,它必須包含上述提及到的不可數集合,這似乎是個矛盾。但是正在討論的這些集合是不可數的,只是在模型內不存在從自然數到這些集合的雙射(注意到雙射函數也是集合,也就是一種特殊的關係)。而模型外的確有這樣的雙射。
這個悖論被多數邏輯學家看作困惑人的東西,而不是邏輯矛盾的意義上的悖論(就是說是巴拿赫-塔斯基悖論意義上而非羅素悖論意義上的悖論)。Timothy Bays 詳細論爭說在 Löwenheim-Skolem定理或者這個定理周邊中,都沒有自相矛盾的內容。
但是某些哲學家,例如 希拉蕊·懷特哈爾·普特南 和牛津哲學家 A. W. Moore,認為它在某種意義上是個悖論。
困難位於在這個定理之下的「相對主義」觀念。Skolem 說:
Moore(1985)爭論說如果這種相對主義完全可以理解,它必須在把它定為直接了當的錯誤的框架內來理解。它是 Skolem 的悖論。
如果 Skolem 的解釋為真,可數和不可數這樣的想法本質上是相對的。我們相信自然數的冪集 P(w) 為不可數的是正確的,但必須理解為相對於我們當前的「視點」。從其他視點這個集合可能實際上是可數的。但是應當有可能使這種相對性變得明確。我們可以這麼做,只要我們的關於集合的論域被理解為對於它這種斷言必須被相對化的對象的特定搜集。但這是不可能的,除非我們認可有一個集合包含所有我們想要談論的集合的這個「錯誤」。
「在斷言 P(w) 是無條件不可數的時候,我們無法理解這個除非作為確然假的斷言,它根本不是不可數的。」
我們不能從同時從兩個不同的視點看 P(w);這將是不一致的。我們也不能簡單的從「這個」視點來看,那麼假想的相對性是不可理解的。「但是如果有可能從絕對視點看它,那麼相對主義自身將失去它的根據,而且它不能拒絕聲稱 P(w) 包含所有 w 的子集以及它是無條件不可數的。」
Zermelo 起初聲明 Skolem 悖論是惡作劇。在 1937 年他寫了一個標題為《在集合論和所謂的 Skolem 定理中的相對主義》的評論,在其中他反駁了 Skolem 悖論,即事實上 Zermelo-Fraenkel 集合論 -- 保證存在不可數多個集合 -- 卻有可數的模型。其他在集合論方面的權威也發現這個結果駭人聽聞。
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.