控制體積

控制體積是流體力學及熱力學中，為一物理現象建立數學模型時會用到的一個名詞。在慣性參考系中，控制體積可能是一固定的區域，或者是隨著流體運動。控制體積的表面也稱為控制表面^[1]。

穩態時，控制體積可以視為一個其中流體體積為定值的任意空間。流體可能會流進或流出控制體積，但流入控制體積的流體質量等於流出控制體積的流體質量。在穩態且沒有功或能量的交換，控制體積內的能量也是一個定值。控制體積的概念類似古典力學的自由體圖。

簡介

一般來說，若要了解科學定律在特定系統下的作用，可以先應用在小的控制體積內。控制體積本身沒有特別之處，只是系統的一小部份，讓物理定律可以應用的範圍。這就產生了體積相關的數學公式。

科學規律在控制空間內依一定的方式運作，因為控制空間沒有特別之處，因此可以假設科學規律在系統的其他空間也會以相同方式運作。可以發展數學模型對應單點公式，描述科學規律在整個系統內的行為

在連續介質力學中，守恆定律（例如納維-斯托克斯方程式）是以積分形式出現，因此可以適用在所有的體積裡。尋找獨立於控制空間的方程式，有助於簡化積分的符號。控制空間可以是靜止的，也可以依特定速度移動^[2]。

物質導數

主條目：物質導數

連續介質力學的運算中，常需要將時間導數運算子 ${\displaystyle d/dt\;}$ 改為物質導數運算子 ${\displaystyle D/Dt}$. 可以用下例來說明。

假設有小蟲和控制體積一起移動，其中有隨時間和位置而變化的純量場（例如壓力）： ${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$.

若小蟲在 ${\displaystyle t\;}$ 到 ${\displaystyle t+dt\;}$ 的時間區間內，從位置 ${\displaystyle (x,y,z)\;}$ 移動到位置 ${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$ ，則小蟲感受到的壓力變化為

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

（全微分）。若小蟲移動的速度如下 ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$ 位置的變化可以表示為 ${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$ 因此壓力變化可以表示如下

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}$

其中${\displaystyle \nabla p}$是向量場p的gradient。因此

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

若小蟲是和流場一起移動，上述的公式仍適用，不過速度向量v會改為流速向量u。

在壓力變化的公式中，最後一個括弧內的公式即為壓力純量的物質導數。

因為壓力p是任意的純量場，因此物質導數運算子可以如下式表示： ${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

相關條目

• 納維－斯托克斯方程式
• 狹義相對論
• 流體力學

參考資料

1. G.J. Van Wylen and R.E. Sonntag (1985), Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 2.1 (3rd edition), John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-82933-1
2. Nangia, Nishant; Johansen, Hans; Patankar, Neelesh A.; Bhalla, Amneet Pal S. A moving control volume approach to computing hydrodynamic forces and torques on immersed bodies. Journal of Computational Physics. 2017, 347: 437–462. Bibcode:2017JCoPh.347..437N. S2CID 37560541. arXiv:1704.00239 . doi:10.1016/j.jcp.2017.06.047.