指數映射 (黎曼幾何)

黎曼幾何中，指數映射${\displaystyle \exp _{p}}$（英語：exponential map）是由某（偽）黎曼流形${\displaystyle M}$切空間${\displaystyle T_{p}M}$的子集，到${\displaystyle M}$本身的映射。（偽）黎曼度量對應某個典範仿射聯絡，而（偽）黎曼流形的指數映射就是這個聯絡的指數映射。直觀理解，由起點${\displaystyle p}$出發，以揀選切向量${\displaystyle v\in T_{p}M}$為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是${\displaystyle \exp _{p}(v)}$。

過北極的切面，到地面表面的指數映射，地圖學稱為方位等距投影（英語：azimuthal equidistant projection）。

定義

設${\displaystyle M}$為微分流形，${\displaystyle p}$為${\displaystyle M}$上一點。利用${\displaystyle M}$上的仿射聯絡，可以定義過${\displaystyle p}$點的測地線。^[1]

設${\displaystyle v\in T_{p}M}$為於${\displaystyle p}$點的切向量，則獨有一條測地線${\displaystyle \gamma _{v}}$滿足${\displaystyle \gamma _{v}(0)=p}$，而初始切向量為${\displaystyle \gamma _{v}'(0)=v}$。對應的指數映射${\displaystyle \exp _{p}}$由

${\displaystyle \exp _{p}(v)=\gamma _{v}(1)}$

定義。一般而言，指數映射不必在全個${\displaystyle T_{p}M}$有定義，而衹有局部定義，即定義域是${\displaystyle T_{p}M}$原點的小鄰域，映到${\displaystyle p}$在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在切叢處處有定義，則該線性聯絡稱為完備。

參考資料

1. 本節可參考Kobayashi & Nomizu (1975，§III.6) harvtxt error: no target: CITEREFKobayashiNomizu1975 (help)，其稱仿射聯絡為linear connection「線性聯絡」。

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry（英語：Foundations of Differential Geometry） Vol. 1 New, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3.