指數增長

指數增長（包括指數衰減）指一個函數的增長率與其函數值成比例。在定義域為離散的且等差的情況下。

該圖說明了指數增長（綠色）如何超過線性增長（紅色）和冪增長（藍色）。

  指數增長

  線性增長

  冪增長

指數增長模型也稱作馬爾薩斯增長模型。

基本公式

變量x指數地依賴時間t，若

${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\,}$

其中常數a是x的初始值，

${\displaystyle x(0)=a\,,}$

並且，常數b是正的增長率，τ為x增長b倍所需時間：

${\displaystyle x(t+\tau )=x(t)\cdot b\,.}$

若τ > 0且b > 1，則x為指數增長。若τ < 0且b > 1，或τ > 0且0 < b < 1，則x為指數衰減。

微分方程

指數函數${\displaystyle \scriptstyle x(t)=ae^{kt}}$滿足線性微分方程：

${\displaystyle \!\,{\frac {dx}{dt}}=kx}$

則稱t時刻x的增長率與函數值x(t)成正比，且初值為：

${\displaystyle x(0)=a.\,}$

對於${\displaystyle \scriptstyle a>0}$微分方程可以使用分離變量法求解：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt}$

${\displaystyle \Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=\int k\,dt}$

${\displaystyle \Rightarrow \ln x=kt+{\text{constant}}\,.}$

考慮到給定初值：

${\displaystyle \ln x=kt+\ln a\,}$

${\displaystyle \Rightarrow x=ae^{kt}\,}$

這種解法對於${\displaystyle \scriptstyle a\leq 0}$同樣適用。

對於該增長模型的非線性變體，請參考Logistic函數。

相關條目

• 摩爾定律
• 西洋棋盤與麥粒問題

文內注釋

資料引用

• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
• Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
• Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
• Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.