擬凸函數

擬凸函數（Quasiconvex function）是一類定義在實向量空間的區間或凸子集上的實值函數，且滿足對任意實數${\displaystyle a}$，${\displaystyle (-\infty ,a)}$的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，則稱為擬凹函數。

這個函數不是凸的，但是是擬凸的

這個函數不是擬凸的

正態分布的概率密度函數是擬凹的，但不是凹的

凸函數一定是擬凸函數，但反之則不然，因此擬凸函數是一個更廣泛的概念。凹函數的情況也類似。

定義與性質

設函數${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$定義在實向量空間的凸子集${\displaystyle S}$上。我們稱${\displaystyle f}$是擬凸的，如果對任意的${\displaystyle x,y\in S}$和${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$都有

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$。

另一種等價的定義則是任何的${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$都是凸集。

如果有${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$，則稱${\displaystyle f}$是嚴格擬凸的。

類似地，可以定義擬凹函數和嚴格擬凹函數。我們稱${\displaystyle f}$是擬凹的，如果對任意的${\displaystyle x,y\in S}$和${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$都有

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$。

如果有${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$，則稱${\displaystyle f}$是嚴格擬凹的。

如果一個函數既是擬凸的又是擬凹的，則稱其為擬線性的。

參見

• 凸函數
• 凹函數

參考文獻