拋物面坐標系

拋物面坐標系（英語：Paraboloidal coordinates）是一種三維正交坐標系，是二維拋物線坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，拋物面坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。

從直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 變換至拋物面坐標 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ ：

x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}

、

y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}

、

z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)

；

其中，拋物面坐標遵守以下限制：

\lambda <B<\mu <A<\nu

。

$\lambda$ -坐標曲面是橢圓拋物面 (elliptic paraboloid) ：

{\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda

。

$\mu$ -坐標曲面是雙曲拋物面：

{\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu

。

$\nu$ -坐標曲面也是橢圓拋物面：

{\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu

。

拋物面坐標的標度因子分別為

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}

、

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}

、

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}

。

無窮小體積元素等於

dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu

。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 、 $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 664. ISBN 0-07-043316-X.

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Moon P, Spencer DE. Paraboloidal Coordinates (μ,\ ν,\ λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0387184302.

基本公式