在數值分析 中，拉格朗日插值法 是以法國 18世紀數學家 約瑟夫·拉格朗日 命名的一種多項式插值 方法。許多實際問題中都用函數 來表示各結果之間某種內在聯繫或規律，而不少函數都只能通過繁複實驗和多次觀測來了解。而，如果對實踐中的某個物理 量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式 ，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。上面這樣的多項式就稱為拉格朗日（插值）多項式 （Lagrange polynomial）。數學 上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面 上若干個已知點的多項式函數。拉格朗日插值法最早被英國 數學家愛德華·華林 於1779年發現[ 1] 萊昂哈德·歐拉 再次發現。1795年，拉格朗日在其著作《師範學校數學基礎教程》中發表這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯繫在一起[ 2]
已知平面上4個點：(−9, 5) , (−4, 2) , (−1, −2) , (7, 9) ，拉格朗日多項式：L （x ）y0 ℓ 0 (x ) , y1 ℓ 1 (x ) , y2 ℓ 2 (x ) 以及y3 ℓ 3 (x ) 各穿過對應的一點，並在其它的三個點的x 值上取零。 對於給定的若n+1 個點
(
x
0
,
y
0
)
,
(
x
1
,
y
1
)
,
…
,
(
x
n
,
y
n
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
n 的拉格朗日多項式
L
{\displaystyle \scriptstyle L}
L
{\displaystyle \scriptstyle L}
λ
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
…
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle \lambda (x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})}
對某個多項式函數 ，已知有給定的k + 1個取值點：
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
其中
x
j
{\displaystyle x_{j}}
自變數 的位置，而
y
j
{\displaystyle y_{j}}
假設任意兩個不同的x j 拉格朗日插值多項式 為：
L
(
x
)
:=
∑
j
=
0
k
y
j
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}
其中每個
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle \ell _{j}(x)}
拉格朗日基本多項式 （或稱插值基函數 ），其表達式為：
ℓ
j
(
x
)
:=
∏
i
=
0
,
i
≠
j
k
x
−
x
i
x
j
−
x
i
=
(
x
−
x
0
)
(
x
j
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
−
x
k
)
(
x
j
−
x
k
)
.
{\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}
[ 3] 拉格朗日基本多項式
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle \ell _{j}(x)}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
1 ，在其它的點
x
i
,
i
≠
j
{\displaystyle x_{i},\,i\neq j}
0 。
假設有某個二次多項式函數
f
{\displaystyle f}
f
(
4
)
=
10
{\displaystyle f(4)=10}
f
(
5
)
=
5.25
{\displaystyle f(5)=5.25}
f
(
6
)
=
1
{\displaystyle f(6)=1}
要求
f
(
18
)
{\displaystyle f(18)}
首先寫出每個拉格朗日基本多項式：
ℓ
0
(
x
)
=
(
x
−
5
)
(
4
−
5
)
⋅
(
x
−
6
)
(
4
−
6
)
{\displaystyle \ell _{0}(x)={\frac {(x-5)}{(4-5)}}\cdot {\frac {(x-6)}{(4-6)}}}
ℓ
1
(
x
)
=
(
x
−
4
)
(
5
−
4
)
⋅
(
x
−
6
)
(
5
−
6
)
{\displaystyle \ell _{1}(x)={\frac {(x-4)}{(5-4)}}\cdot {\frac {(x-6)}{(5-6)}}}
ℓ
2
(
x
)
=
(
x
−
4
)
(
6
−
4
)
⋅
(
x
−
5
)
(
6
−
5
)
{\displaystyle \ell _{2}(x)={\frac {(x-4)}{(6-4)}}\cdot {\frac {(x-5)}{(6-5)}}}
然後應用拉格朗日插值法，就可以得到
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
f
{\displaystyle f}
p
(
x
)
=
f
(
4
)
ℓ
0
(
x
)
+
f
(
5
)
ℓ
1
(
x
)
+
f
(
6
)
ℓ
2
(
x
)
{\displaystyle p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)}
.
=
10
⋅
(
x
−
5
)
(
x
−
6
)
(
4
−
5
)
(
4
−
6
)
+
5.25
⋅
(
x
−
4
)
(
x
−
6
)
(
5
−
4
)
(
5
−
6
)
+
1
⋅
(
x
−
4
)
(
x
−
5
)
(
6
−
4
)
(
6
−
5
)
{\displaystyle .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}}
.
=
1
4
(
x
2
−
28
x
+
136
)
{\displaystyle .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)}
此時代入數值
18
{\displaystyle \ 18}
f
(
18
)
=
p
(
18
)
=
−
11
{\displaystyle \ f(18)=p(18)=-11}
對於給定的k +1個點：
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
1 ，而在其他點取值都是0 的多項式
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle \ell _{j}(x)}
y
j
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle y_{j}\ell _{j}(x)}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
y
j
{\displaystyle y_{j}}
0 。而多項式
L
(
x
)
:=
∑
j
=
0
k
y
j
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}
L
(
x
j
)
=
∑
i
=
0
k
y
i
ℓ
i
(
x
j
)
=
0
+
0
+
⋯
+
y
j
+
⋯
+
0
=
y
j
{\displaystyle L(x_{j})=\sum _{i=0}^{k}y_{i}\ell _{i}(x_{j})=0+0+\cdots +y_{j}+\cdots +0=y_{j}}
在其它點取值為0 的多項式容易找到，例如：
(
x
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
−
x
k
)
{\displaystyle (x-x_{0})\cdots (x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots (x-x_{k})}
它在點
x
j
{\displaystyle x_{j}}
(
x
j
−
x
0
)
⋯
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
j
−
x
k
)
{\displaystyle (x_{j}-x_{0})\cdots (x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})\cdots (x_{j}-x_{k})}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
0 。於是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足「在
x
j
{\displaystyle x_{j}}
1 ，而在其他點取值都是0 的多項式」：
ℓ
j
(
x
)
:=
∏
i
=
0
,
i
≠
j
k
x
−
x
i
x
j
−
x
i
=
(
x
−
x
0
)
(
x
j
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
−
x
k
)
(
x
j
−
x
k
)
{\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}}
這就是拉格朗日基本多項式。
拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項式
ℓ
0
,
ℓ
1
,
⋯
,
ℓ
n
{\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\cdots ,\ell _{n}}
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
{\displaystyle x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}
n 的多項式所組成的線性空間 ：
K
n
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {K} _{n}[X]}
基底 。首先，如果存在一組係數 ：
λ
0
,
λ
1
,
⋯
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}
P
=
λ
0
ℓ
0
+
λ
1
ℓ
1
+
⋯
+
λ
n
ℓ
n
=
0
{\displaystyle P=\lambda _{0}\ell _{0}+\lambda _{1}\ell _{1}+\cdots +\lambda _{n}\ell _{n}=0}
那麼，一方面多項式P 是滿足
P
(
x
0
)
=
λ
0
,
P
(
x
1
)
=
λ
1
,
⋯
,
P
(
x
n
)
=
λ
n
{\displaystyle P(x_{0})=\lambda _{0},P(x_{1})=\lambda _{1},\cdots ,P(x_{n})=\lambda _{n}}
P 是零多項式，所以取值永遠是0 。所以
λ
0
=
λ
1
=
⋯
=
λ
n
=
0
{\displaystyle \lambda _{0}=\lambda _{1}=\cdots =\lambda _{n}=0}
這證明了
ℓ
0
,
ℓ
1
,
⋯
,
ℓ
n
{\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\cdots ,\ell _{n}}
線性獨立 的。同時它一共包含n+1 個多項式，恰好等於
K
n
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {K} _{n}[X]}
ℓ
0
,
ℓ
1
,
⋯
,
ℓ
n
{\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\cdots ,\ell _{n}}
K
n
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {K} _{n}[X]}
拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的（都是n 次多項式）。
拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少一個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，於是整個公式都會變化，非常繁瑣[ 5] 牛頓插值法 來代替。此外，當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數可能會很高，因此具有數值不穩定 的特點，也就是說儘管在已知的幾個點取到給定的數值，但在附近卻會和「實際上」的值之間有很大的偏差（如右下圖）[ 6] 龍格現象 ，解決的辦法是分段用較低次數的插值多項式。
E. Waring. Problems Concerning Interpolations. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1779, 69 : 59–67.
（英文） E. Meijering. A chronology of interpolation: From ancient astronomy to modern signal and image processing, . Proceedings of the IEEE: 323.
（英文） Julius Orion Smith III. Lagrange_Interpolation . Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University . [2009-12-22 ] . （原始內容存檔 於2009-06-28）. 王兆清，李淑萍，唐炳濤. 一维重心型插值：公式、算法和应用. 山東建築大學學報. 2007, 22 (5): 447–453.
![{\displaystyle \mathbb {K} _{n}[X]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb725969e50175aa5a685a0e279641371ce9eba)
