擴散方程

擴散方程是一類偏微分方程，用來描述擴散現象中的物質密度的變化。通常也用來和擴散類似的現象，例如在群體遺傳學中等位基因在群體中的擴散。

擴散方程通常寫作：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}D(\phi ,{\vec {r}})\,\nabla \phi ({\vec {r}},t){\bigg )},}$

其中 ${\displaystyle \,\phi ({\vec {r}},t)}$ 是擴散中的物質在${\displaystyle t}$時刻，位於${\displaystyle {\vec {r}}}$處的密度；${\displaystyle \,D(\phi ,{\vec {r}})}$是密度${\displaystyle \phi }$在${\displaystyle {\vec {r}}}$處的擴散係數。

如果擴散係數依賴於密度那麼方程是非線性的，否則是線性的。如果${\displaystyle \,D}$是常數，那麼方程退化為下面的線性方程（熱傳導方程）：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t),}$

更一般的，當D是對稱正定矩陣時，方程描述的是各向異性擴散。此時方程的三維形式是：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(D_{ij}(\phi ,{\vec {r}}){\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial x_{j}}}\right)}$

方程的導出

擴散方程可以直接由連續性方程導出。連續性方程系統中任何部分的密度變化取決於流入和流出該部分的物質。也就是說，沒有物質被創造，也沒有物質被消滅：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0}$,

其中${\displaystyle {\vec {j}}}$是流出的擴散物質。結合菲克第一定律擴散方程可以輕易的導出，菲克第一定律假定系統中任何部分流出的擴散物質與局部的密度梯度成比例：

${\displaystyle {\vec {j}}=-D\,(\phi )\,\nabla \,\phi \,(\,{\vec {r}},t\,)}$.

推廣

擴散方程式考慮勞侖茲力的影響後，可以推廣為能斯特普朗克方程式