微分包含式

數學分析中的微分包含式（Differential inclusion）是指具有如下形式的常微分方程式：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),}$

其中F(t, x)表示了一個集合，而非${\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {R} }^{d}}$空間中一個點。對微分包含式的研究源於微分不等式、投影動態系統、動態摩擦力問題和模糊集算法問題等不同的領域。

舉例來講，由庫侖摩擦力的基本定理得知物體受到的摩擦力的大小為μN，方向與滑動方向相反，其中N是正向力，μ是摩擦係數。然而，在一個動態問題中，物體滑動量為0時受到的摩擦力可以是相應的受力平面內的小於等於μN任意的力，在這種情形下表示摩擦力與物體的位置、速度的函數關係就需要採用多值函數。

理論

現有的關於微分包含式的理論通常假定 F(t, x) 是關於 x 的「上半側連續」函數，t可測，且 F(t, x) 對於所有的x、t都是閉合的凸集。

在以上假定的條件下，有關於初值問題:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$ 在充分小的時間間隔[t₀, t₀ + ε), ε > 0 內

的解的存在定理。若對F作進一步約束，可以得到全局狀況下的解的存在定理 (${\displaystyle \scriptstyle \Vert x(t)\Vert \,\to \,\infty }$ as ${\displaystyle \scriptstyle t\,\to \,t^{*}}$ for a finite ${\displaystyle \scriptstyle t^{*}}$)。

當 F(t, x) 是非凸的集合時，相應的微分包含式的解的存在定理是目前的一個研究熱點。

應用

微分包含式可以被適宜地理解為非連續的常微分方程，它出現在力學系統中對動態摩擦力的研究，以及電力電子領域中對理想開關的研究等。

參見

• 微分方程
• 常微分方程
• 博弈論