循環連分數

循環連分數是一種可表示為以下形式的連分數：

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\,}$

前k+1個部分分母不算，後面的部分分母[a_k+1, a_k+2,…a_k+m]會一直重覆出現。例如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$即可表示為循環連分數[1,2,2,2,...]。

循環連分數的部份分母{a_i}可以是任何實數或虛數。

1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為二次無理數^[1]。例如${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$。

在此條目以下的內容會限制在部份分母為正整數的循環連分數。

純循環連分數以及循環連分數

因為循環連分數的分子都是1，因此可以用以下簡化的方式記錄循環連分數：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}]\end{aligned}}}$

第二行的括線表示循環的部份^[2]。有些教材書會用以下的寫法

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\dot {a}}_{k+1},a_{k+2},\dots ,{\dot {a}}_{k+m}]\end{aligned}}}$

循環部份的第一個數字和最後一個數字上方加上點識別^[3]。

若循環連分數中都是循環部份，沒有不循環的第一部份，也就是k = -1, a₀ = a_m，則

${\displaystyle x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}],}$

這樣的循環連分數稱為純循環連分數（purely periodic）。例如黃金比例φ的循環連分數是${\displaystyle [1;1,1,1,\dots ]}$，就是純循環連分數，而${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的循環連分數是${\displaystyle [1;2,2,2,\dots ]}$，是循環連分數，不是純循環連分數。

和單位模矩陣之間的關係

循環連分數可以和實數的二次無理數一一對應。其對應關係在明可夫斯基問號函數（英語：Minkowski's question-mark function）有提到。先考慮以下的純循環連分數

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}],}$

此純循環連分數可以寫成

${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

其中${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$是整數，滿足${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1.}$。其確切值可以用以下方式求得

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

表示移位，因此

${\displaystyle S^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$

以下這個類似反射

${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

而${\displaystyle T^{2}=I}$。這些矩陣都是單位模矩陣（英語：unimodular matrix），其乘積仍是單位模矩陣。針對上述的${\displaystyle x}$，對應的矩陣如下^[4]

${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}T\cdots TS^{a_{m}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

而

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}]={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

是其顯式式。因為所有的矩陣元素都是整數，矩陣也屬於模群（英語：modular group） ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} ).}$。

文內注釋

1. Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.
2. Pettofrezzo & Byrkit 1970，第158頁.
3. Long 1972，第187頁.
4. Khinchin 1964.

參考資料

• Long, Calvin T. Elementary Introduction to Number Theory 3 Sub. Waveland Pr Inc. 1972. LCCN 77-171950.
• Pettofrezzo, Anthony Joseph; Byrkit, Donald R. Elements of Number Theory 11. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1970. ISBN 9780132683005. LCCN 77-81766.
• Khinchin, A. Ya. Continued Fractions. University of Chicago Press. 1964 [Originally published in Russian, 1935]. ISBN 0-486-69630-8. 含有內容需登入查看的頁面 (link) (This is now available as a reprint from Dover Publications.)