張邱建算經

張邱建算經上、中、下三卷，北魏數學家張邱建著。隋劉孝孫細草。唐朝時被李淳風定為《算經十書》之一。清朝乾隆年間，將張邱建算經的北宋刊本收入《四庫全書》子部六，共一百條。據《四庫全書提要》，此書唐志記載得一卷，有漢中郡守甄鸞註解的「術曰」、唐朝議大夫行太史令上輕車都尉李淳風的小字按語和唐算學博士劉孝孫的細草「草曰」。

宋版張邱建算經

現存張邱建算經只剩九十二條。

張邱建算經的主要貢獻有三

• 提出求最小公倍數的算法
• 提出計算等差級數的公式
• 「百雞問題」首創不定方程的研究，對後世影響深遠^[1]。

內容

張邱建算經三卷，現存92題，內容多取材自《九章算術》，加以擴充而成。每道問題大致按九章算術格式，多以「今有……」開首，以「問……若干」結尾。隨即是答案「答曰：……」，接著是甄鸞加注的解釋計算程序的「術曰：……」，有些術後帶有小字「臣淳風等謹按」，是李淳風所加的註解。隨後是比「術曰」詳細的劉孝孫細草。

全書內容可分為幾大類：

• 分數的四則運算，
• 開平方與開立方，
• 正比例，反比例，
• 等比級數，等差級數
• 線性方程
• 不定方程：百雞問題

分數的四則運算

卷一第二問：「以二十一七分之三乘三十七九分之五，問：得幾何？」。答曰：八百四二十一分之十六。

「草曰：置二十一以分母七乘之內子三得一百五十又置三十七以分母九乘之內子五得三百三十八二位相乘得五萬七百為實，以二分母七九相乘得六十三而一得八百四，餘六十三分之四十八，各以三約之，得二十一分之十六，合前問。」

${\displaystyle 21{\frac {3}{7}}*37{\frac {5}{9}}={\frac {150}{7}}*{\frac {338}{9}}=804{\frac {48}{63}}=804{\frac {16}{21}}}$

開平方與開立方

卷一19問：「今有圓材，徑頭二尺一寸，欲以為方，問：各幾何？」。「答曰一尺五寸」。「術曰：置徑尺寸數，以五乘之為實，以七位法，實如法而一」。「草曰：置二尺一寸以五乘之得一百五寸，以七除之得一尺五寸，合前問。」

${\displaystyle {\frac {21*5}{7}}={\frac {105}{7}}=15}$

等差級數和等比級數

卷上第23問：「今又女子，不善織，日減功，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖，問：織幾何？」。「術曰：並初末日織數，半之，除以織訖日即得。」 「答曰二疋一丈。」

織布數=（初日織數+末日織數）/2*織訖日數。

「草曰：置初日五尺訖日一尺並之得六，半之得三，以三十日稱之得九十尺，合前問。」

${\displaystyle {\frac {5+1}{2}}*30=3*30=90}$

百雞問題

《張邱建算經》第三十八問：是中國數學史上最早的不定方程問題：「今有雞翁一，值錢五，雞母一、值錢三、雞雛三，值錢一；凡百錢，買雞百隻；問，雞翁、雞母、雞雛各幾何？

答曰，雞翁四、雞母十八、雞雛七十八、

又答曰：雞翁八，雞母十一，雞雛八十一

又答曰 ：雞翁十二，雞母四，雞雛八十四^[2]

清代數學家駱騰風將《張邱建算經》中的百雞問題化為不定方程組^[3]

${\displaystyle x+y+z=100}$

${\displaystyle 5x+3y+z/3=100}$

版本

• 南宋嘉定六年（1213年）鮑澣之刻本 存上海圖書館
• 戴震-孔繼涵微波榭本校勘本
• 錢寶琮校點本 《張邱建算經》 《算經十書》《李儼.錢寶琮科學史全集》卷9
• 郭書春，劉純校點，《張邱建算經》《算經十書》第二冊 遼寧教育出版社 1998

參考文獻

1. 傅海倫編著 《中外數學史概論》 第五章 《張邱建算經》和《孫子算經》 59-60 ISBN 978-7-03-018477-1
2. 《李儼錢寶琮科學史全集》第4卷第305頁
3. 吳文俊主編《中國數學史大系》第四卷377頁