數列極限

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數列極限（英語：limit of a sequence）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

極限的定義 — 取一複數數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$，若有一複數 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ，使得

「對於任意的正實數 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在自然數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，使得任意的自然數 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$，則 ${\displaystyle |z_{i}-z|<\epsilon }$ 」

用正式的邏輯語言來表示即

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]}$

則稱數列${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$收斂於 ${\displaystyle z}$（convergent to ${\displaystyle z}$ ），並記作

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$

如果不存在這樣的複數 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$，則稱 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 是發散的（divergent）。

實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 ${\displaystyle \{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 來說，若

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$

則其極限 ${\displaystyle z}$ 一定為實數 ，因為假設 ${\displaystyle z}$ 的虛部 ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\neq 0}$ 的話，則對極限定義取 ${\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0}$ 的話，會存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，使得任意的 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$有

${\displaystyle |z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|}$

這是矛盾的，所以根據反證法，${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=0}$ ，即 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ 。

基本性質

唯一性

定理 — 若數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 的極限存在，則極限是唯一的。^[1]:29

證明

設數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有兩個不相等的極限值${\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} }$，則根據假設，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$，使任意 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有

${\displaystyle |z_{i}-z_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

${\displaystyle |z_{i}-z_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

這樣根據三角不等式，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ， 只要自然數 ${\displaystyle i>n}$ 就有則

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=|(z_{1}-z_{i})-(z_{2}-z_{i})|\leq |z_{1}-z_{i}|+|z_{2}-z_{i}|<\epsilon }$

這樣的話，假設 ${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|>0}$ 會得到

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|<|z_{1}-z_{2}|}$

這樣是矛盾的，故根據反證法， ${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=0}$ ，也就是 ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$，故極限唯一。${\displaystyle \Box }$

有界性

定理 — 若數列${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$有極限，則存在正實數 ${\displaystyle M>0}$ ，使得對所有的自然數 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 都有 ${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$。^[1]:29-30

（即 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有極限則必為有界數列）

證明

因為${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$有極限，假設有實數 ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ 滿足

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$

這樣的話，對於 ${\displaystyle \epsilon =1}$ ，存在自然數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，使得任意的自然數 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$，則

${\displaystyle |x_{i}-L|<\epsilon =1}$

從而

${\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$

這樣的話，令

${\displaystyle M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)}$

就會有

${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$

故得証。${\displaystyle \Box }$

根據實質條件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」^[1]:30

注意有界數列不一定有極限，如數列 ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots }$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

保序性

定理 — 有實數數列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

則「${\displaystyle a>b}$ 」等價於「存在${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>n}$ 就有 ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$」。^[1]:30

證明

左至右：

取${\displaystyle \epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0}$，則由前提假設，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有

${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}}$

${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}}$

從而

${\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$

故

${\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}}$

這樣取 ${\displaystyle n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ ，左至右就得證。${\displaystyle \Box }$

右至左：

由前提假設，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}}$ 就有

${\displaystyle \epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a}$

${\displaystyle \epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b}$

${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$

從而

${\displaystyle 0<x_{i}-y_{i}<a-b}$

故得證。${\displaystyle \Box }$

四則運算定理

設${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$，則

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b}$；
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b}$；
3. 若${\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0}$,則${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}}$.

審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，稱為單調收斂定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列

主條目：柯西序列

參考文獻列表

1. 華東師範大學數學系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 請檢查|date=中的日期值 (幫助)

參看

• 級數
• 函數極限