平方可積函數

在數學中，平方可積函數（英語：square-integrable function）是絕對值平方的積分為有限值的實值或復值可測函數。因此，若

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

則我們說 f 在實直線 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ 上是平方可積的。平方可積一詞也可以用於有限區間如[0, 1]。^[1]

一個等價的定義是，函數本身的平方（而非它的絕對值）是勒貝格可積的。要想使其為真，實部的正和負的部分的積分都必須是有限的，虛部也是如此。

通常這個術語不是指某個特定函數，而是指幾乎處處相等的一組函數。

性質

平方可積函數（這裡的「函數」實際上意味著幾乎處處相等的一組函數）通過內積構成一個內積空間，

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$

其中

• f 和 g 都是平方可積函數，
• f(x) 是 f 的複共軛
• A 是積分區間——在上述的第一種情況中，A 就是${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$；在第二種情況中 A 是 [0, 1]。

由於 |a|² = a a，平方可積性之要求也即

${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$

可以證明，平方可積函數在上述定義的內積導出的度量下構成一個完備度量空間。完備度量空間也被稱為柯西空間，因為在這樣的度量空間中，數列收斂若且唯若其為柯西序列。由一個範數導出的度量下的完備空間是巴拿赫空間。因此，平方可積函數的空間是由該範數導出的度量下的巴拿赫空間，而範數又是由內積導出的。由於內積的補充性質，這（空間）其實就是一個希爾伯特空間，因為空間在由內積導出的度量下是完備的。

這個內積空間通常記為 ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$，並經常縮寫為 ${\displaystyle L_{2}}$。注意 ${\displaystyle L_{2}}$ 表示的是平方可積函數的集合，但該記號沒有指明選擇的度量、範數或內積。該集合需要連同特定的內積 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$，來確定內積空間。

平方可積函數構成的空間也是一個 L^p 空間，其中 p = 2。

參見

• L^p 空間

參考文獻

1. G.Sansone. Orthogonal Functions. Dover Publications. 1991: 1–2. ISBN 978-0-486-66730-0.