平均數不等式,或稱平均值不等式、均值不等式,是數學上的一組不等式,也是算術-幾何平均值不等式的推廣。它是說:
即
其中:
若且唯若
,等號成立。
即對這些正實數:調和平均數 ≤ 幾何平均數 ≤ 算術平均數 ≤ 平方平均數(方均根)
簡記為:「調幾算方」
關於均值不等式的證明方法有很多,數學歸納法(第一數學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以證明均值不等式,在這裡簡要介紹數學歸納法證明n維形式的均值不等式的方法:
用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。
引理:設
,
,則
,且僅當
時取等號。
引理的正確性較明顯,條件
,
可以弱化為
,
,可以用數學歸納法證明。
原題等價於:
,若且唯若
時取等號。
當
時易證;
假設當
時命題成立,即
,若且唯若
時取等號。
那麼當
時,不妨設
是
、
中最大者,則
設
,
,根據引理
,若且唯若
且
時,即
時取等號。
此外,人教版高中數學教科書《選修4-5 不等式選講》也介紹了一個運用數學歸納法的證明方法[1]。
先運用數學歸納法證明一個引理:若
(
是正整數)個正數
的乘積
,則它們的和
,若且唯若
時等號成立。
此引理證明如下:
當
時命題為:若
,則
,若且唯若
時等號成立。命題顯然成立。
假設當
時命題成立,則現在證明當
時命題也成立。
若這
個數全部是1,即
,則命題顯然成立。
若這
個數不全是1,則易證明必存在
使
。不妨設
。由歸納假設,因為
,所以
,記此式為①式。由
,知
,則
,整理得
,記此式為②式。①+②得
,整理得
(此時等號不成立),命題成立。
綜上,由數學歸納法,引理成立。
現在為了證明平均值不等式,考慮
個正數
,它們的積為1,由引理,它們的和
,若且唯若
即
時等號成立。
整理即得:
,若且唯若
時等號成立。於是
得證。
利用
,易證
。考慮
個正數
,有
,若且唯若
即
時等號成立。兩邊取倒數整理得
,若且唯若
時等號成立,即
。
等價於
。事實上,
等於
的方差,通過這個轉化可以證出
,證明如下。
,
若且唯若
時等號成立。
利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式,同時還有柯西歸納法等方法。