尾波

尾波（英語：wake）是固體在划過流體（特別是液體）表面時在尾部產生的V形傳播的波，例如水鳥或船舶勻速游過水體時在水面激起的後方波紋。因為由英國的開爾文男爵——物理學家威廉·湯姆森（William Thomson，1824～1907）最先對船波進行數學研究，因此也稱為開爾文船波（Kelvin wake或Kelvin ship wave）。

船隻尾波的鳥瞰圖

從前方觀測的船隻尾波

數學原理

船形物體的尾波形狀和福祿數${\displaystyle Fr}$有密切關係。

${\displaystyle Fr={\frac {V}{\sqrt {gl}}}}$

其中g為重力常數，V是船速，l是船的長度。

令船的長度${\displaystyle l=k\cdot {\frac {V^{2}}{g}}}$ 則${\displaystyle Fr={\frac {1}{\sqrt {k}}}}$.

對於長度大而速度低的輪船，Fr數小，開爾文船波主要是長波，其波前與速度矢量的夾角比較小。

而小快艇，長度小，速度高，Fr 數大，開爾文船波則以短波長的水波為主，而波前則與速度矢量成較大的夾角。^[1]

開爾文船波動研究，對於船舶的設計有重要意義，因為船舶的馬力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr數與速度成正比，與長度的平方根成反比的規律，可以利用小的模型，縮小船長${\displaystyle M^{2}}$倍，同時縮小速度M倍，可以在實驗室中模擬海上舟。^[2]

多鞍點函數積分

Integrand of Kelvin Wake Integral

Kelvin Ship Wake Integrand contour Maple plot

當船隻以速度V駛過深水湖面，波形的幅度在相對於船隻為靜止的極坐標（${\displaystyle \rho ,\phi }$中在船隻的速度矢量方向，${\displaystyle \phi =0}$），由下列公式表示^[3]

${\displaystyle K(\phi ,\rho )=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \rho {\frac {\cos(\theta +\phi )}{\cos ^{2}\theta }}d\theta }$

其中${\displaystyle \rho =gr/V^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {V^{2}}{gr}}}$是福祿數的平方${\displaystyle Fr^{2}}$

${\displaystyle g}$為重力常數${\displaystyle l}$為船的長度。

上列K函數是下列多鞍點積分的正數部分：

${\displaystyle K(\phi ,\rho )=\Re (\int _{-\infty }^{\infty }\exp(i\rho f(\theta ,\rho )d\theta )}$ 其中，多鞍點積分的核函數為

${\displaystyle f(\theta ,\phi )=-{\frac {\cos(\theta +\phi )}{\cos ^{2}\theta }}}$

此核函數是一個多鞍點函數，振盪劇烈如圖

求其極點，

${\displaystyle {\frac {df(\theta ,\phi )}{d\theta }}={\frac {\sin(\theta +\phi )}{\cos(\theta )^{2}}}-{\frac {2\cos(\theta +\phi )\sin(\theta )}{\cos(\theta )^{3}}}=0}$

解之，得

${\displaystyle \theta _{1}=\arctan({\frac {(1/4)(1+{\sqrt {(1-8\tan(\phi )^{2}))}}}{\tan(\phi )}})=-\arctan({\frac {(1/4)(-1+{\sqrt {(}}1-8\tan(\phi )^{2}))}{\tan(\phi )}})}$

由此

${\displaystyle \phi _{1}=19.47}$度,

${\displaystyle \phi _{2}=-19.47}$度

這就是凱爾文船波的V型波包線的夾角，最早由凱爾文男爵發現，而且角度與船速無關.^[4][5]至於波紋本身則與船速矢量的夾角為

${\displaystyle \theta =\pi -19.47=35.3}$°^[1]

開爾文駐相法

Kelvin Wake (Maple density plot)

開爾文船波波形

開爾文船波積分${\displaystyle K(\phi ,\rho )}$必須通過數值積分計算。開爾文男爵根據被積分函數在積分區間內劇烈震盪的特點，提出了駐相法（Method of Stationary Phase）。

原理：當被積分函數劇烈震盪時，除了在極點外，震盪的被積分函數正負相抵消，因此可以將此被積分函數在極點的值作為整個積分的近似，駐相法乃是拉普拉斯方法的推廣。^[6]

被積分函數 ${\displaystyle f(\theta ,\phi )=-{\frac {cos(\theta +\phi )}{cos^{2}\theta }}}$ 的兩個極點是：

${\displaystyle \theta _{p}=arctan({\frac {(1/4)*(1+{\sqrt {(1-8*tan(\phi )^{2}))}}}{tan(\phi )}})}$

${\displaystyle \theta _{m}=-arctan({\frac {(1/4)*(-1+{\sqrt {(}}1-8*tan(\phi )^{2}))}{tan(\phi )}})}$

令

${\displaystyle f_{m}=f(\theta _{m},\phi )={\frac {sin((1/2)*\phi -(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}{sin((1/2)*\phi +(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}}}$

${\displaystyle f_{p}=f(\theta _{p},\phi )={\frac {cos((1/2)*\phi +(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}{cos(-(1/2)*\phi +(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}}}$

${\displaystyle fbar:=1/2*(f_{p}+f_{m})}$

${\displaystyle D2F={\frac {d^{2}F(\theta ,\phi )}{d\theta ^{2}}}}$

${\displaystyle D2F_{p}=D2F(\theta _{p},\phi )}$

${\displaystyle D2F_{m}=D2F(\theta _{m},\phi )}$

${\displaystyle \Delta :=(3/4*(f_{m}-f_{p}))^{(}2/3)}$

${\displaystyle u={\sqrt {\frac {\Delta ^{1/2}}{2}}}*({\frac {1}{\sqrt {D2F_{p}}}}+{\frac {1}{\sqrt {-D2F_{m}}}})}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2}{\Delta ^{1/2}}}}*({\frac {1}{\sqrt {D2F_{p}}}}-{\frac {1}{\sqrt {-D2F_{m}}}})}$

${\displaystyle K(\phi ,\rho )\approx 2*\pi *(u*cos(\rho *fbar)*AiryAi(-\rho ^{(}2/3)*\Delta )/\rho ^{(}1/3)+v*sin(\rho *fbar)*AiryAi(1,-\rho ^{(}2/3)*\Delta )/\rho ^{(}2/3))}$

開爾文船波的波峰，由下列兩個參數方程式描述^[7]

${\displaystyle x:=X*sin(\beta )*(1-(1/2)*sin(\beta )^{2})}$

${\displaystyle y:=X*sin(\beta )^{2}*cos(\beta )/(2*M)}$

外部連結

• §36.13 Kelvin’s Ship-Wave Pattern （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）