塵埃解

在廣義相對論中，塵埃解（英文：dust solution）是愛因斯坦場方程的一個精確解。這一解所對應的引力場完全由質量、動量和擁有正的密度但壓強為零的理想流體的應力密度所產生。塵埃解是廣義相對論的流體解中最為重要的特殊情形。

塵埃解中零壓強的理想流體可以理解成一組互相之間只有引力相互作用的塵埃粒子的模型。因此，塵埃解常被用於宇宙學中的一些理想宇宙模型中，在其中塵埃粒子可作為星系、星系團和超星系團的高度理想化模型。在天體物理學中，塵埃解被用於引力坍縮的模型。此外，如果將恆星抽象成真空中的一個流體球，則塵埃解可以用於描述大質量物體周圍的吸積盤。

數學定義

相對論性零壓強流體的應力-能量張量可以寫成

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho U^{\mu }U^{\nu }}$

其中

• 塵埃粒子的世界線是4-速度${\displaystyle U^{\mu }}$的積分曲線
• 質量密度由純量函數${\displaystyle \rho }$給出

特徵值

塵埃解中愛因斯坦張量的特徵多項式

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{4}+a_{3}\,\lambda ^{3}+a_{2}\,\lambda ^{2}+a_{1}\,\lambda +a_{0}}$

必須具有以下形式

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\lambda ^{3}}$

將上式展開，我們可以發現，特徵多項式的係數必須滿足以下三個代數獨立（且不變）的條件

${\displaystyle a_{0}\,=a_{1}=a_{2}=0}$

使用牛頓恆等式，考慮其根（也就是特徵值）的冪次之和，也即愛因斯坦張量的冪次的跡，這些條件便變成

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

在張量記號（tensor gymnastics notation）下，利用數量曲率，這可以被寫成

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}}$

這一特徵值判別法有時在尋找塵埃解時非常有用，因為它顯示，只有極少的偽黎曼流形可能承認塵埃解作為一個解釋。

另見

• 廣義相對論的精確解
• 廣義相對論的流體解
• 洛倫茲群

參考資料

• Schutz, Bernard F., 4. Perfect fluids in special relativity, A first course in general relativity 2, Cambridge University Press, 2009, ISBN 0-521-88705-4
• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-46136-7. Gives many examples of exact dust solutions.