多重完全數

多重完全數（multiply perfect number）為一數學名詞，是一種廣義的完全數。

針對一自然數k，自然數n為k重完全數的充份必要條件是n所有正因數的和（即除數函數，σ(n)）等於n的k倍，此定義下，完全數的除數函數為本身的2倍，因此是2重完全數。不論k的數值為何，k重完全數都屬於多重完全數。至2004年7月為止．已經找到k為11的多重完全數。

可以證明：

• 針對一質數p，若n為p重完全數且p無法整除n，則pn為(p+1)重完全數。因此可推得若整數n3重完全數，可被2整除但不能可被4整除，其充份必要條件是n/2需為奇數的完全數，至2012年12月為止，尚未發現任何奇數的完全數。
• 若3n為4k重完全數，且3無法整除n，則n為3k-重完全數。

最小的k重完全數

以下列出k <= 7時，各k值最小的k重完全數（OEIS數列A007539）：

k	最小的k重完全數	發現者
1	1	不可考
2	6	不可考
3	120	不可考
4	30240	勒內·笛卡兒，約在1638年
5	14182439040	勒內·笛卡兒，約在1638年
6	154345556085770649600	羅伯特·丹尼·卡邁克爾, 1907
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000	TE Mason, 1911

例如，120的除數函數滿足以下的關係：

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 × 120.

120的除數函數為120的三倍，因此為3重完全數：

參考資料

• Laatsch, Richard. Measuring the abundancy of integers. Mathematics Magazine. 1986, 59 (2): 84–92. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003.
• Merickel, James G. Problem 10617 (Divisors of sums of divisors). Am. Math. Monthly. 1999, 106 (7): 693. JSTOR 2589515. MR 1543520.
• Weiner, Paul A. The abundancy ratio, a measure of perfection. Math. Mag. 2000, 73 (4): 307–310. JSTOR 2690980. MR 1573474.
• Sorli, Ronald M., Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers, 2003
• Ryan, Richard F. A simpler dense proof regarding the abundancy index. Math. Mag. 2003, 76 (4): 299–301. JSTOR 3219086. MR 1573698.
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Broughan, Kevin A.; Zhou, Qizhi. Odd multiperfect numbers of abundancy 4. J. Number Theory. 2008, 126 (6): 1566–1575. MR 2419178. doi:10.1016/j.jnt.2007.02.001.
• Ward, Jeffrey. Does ten have a friend?. arXiv:0806.1001 .

外部連結

• The Multiply Perfect Numbers page （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• The Prime Glossary: Multiply perfect numbers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）