外延性

在數學中，外延性通常指稱某種形式的。可追溯到萊布尼茲的原理，兩個數學物件是相等的，如果沒有區分它們的檢定。例如，給出兩個數學函數 f 和 g，我們可以說它們是相等的，如果

f(x) = g(x)

對於在公共函數域 X 內的所有 x。這種外延相等是平常的定義，如果函數範圍 Y 對於兩個也是公共的。在另一方面，如果我們在類型論的意義上通過附著到它們上的數據來區分函數，這樣我們可以選擇一個更大的集合比如 Z 作為它們之一的範圍，則這種相等不同於「外延」意義的相等。這種意義下外延性可能會失敗。另一種意義的相等考慮「函數被計算的過程」，如果這麼考慮，通常會同外延性相牴觸。

在公理化集合論中，外延性被表達為外延公理，它聲稱兩個集合是相等的，若且唯若它們包含相同的元素。在 lambda 演算中，外延性被表達為 eta-轉換規則，它允許在指示相同函數的任何兩個表達式之間的轉換。

舉例

考慮從自然數映射的兩個函數 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$，定義如下：

• 找到${\displaystyle f(n)}$，首先將 ${\displaystyle 5}$加到 ${\displaystyle n}$，然後乘以 ${\displaystyle 2}$。
• 找到${\displaystyle g(n)}$，首先將 ${\displaystyle n}$乘以 ${\displaystyle 2}$，然後加 ${\displaystyle 10}$。

這些功能在外延性的意義上是相同的；給定相同的輸入，兩個函數總是產生相同的值。但是函數的定義並不相同；但是在內涵定義比較時，這兩個函數並不相同。

在自然語言中，類似地存在許多謂詞（關係），這些謂詞本質上原來可能是不同涵義的，但使用指稱作用的外延性就變成同義詞了。例如假設在一個城鎮中有一個名叫喬的人，他是該鎮最老的人。而句中的兩個論證謂詞「有一個人名」和「是最老的人」在比較內涵定義時明顯是截然不同的概念，但解析整句後，對該「城鎮」中有個「喬」「是最老的人」的外延性，則意義即等同。

參見

• 外延
• 內涵
• 等於