可微函數

可微分函數（英語：differentiable function）在微積分學中是指那些在定義域中所有點都存在導數的函數。可微函數的圖像在定義域內的每一點上必存在非垂直切線。因此，可微函數的圖像是相對光滑的，沒有間斷點、尖點或任何有垂直切線的點。

一個可微函數的圖像

一般來說，若X₀是函數f定義域上的一點，且f′(X₀)有定義，則稱f在X₀點可微。這就是說f的圖像在(X₀, f(X₀))點有非垂直切線，且該點不是間斷點、尖點。

可微性與連續性

魏爾斯特拉斯函數連續，但在任一點都不可微

若f在X₀點可微，則f在該點必連續。特別的，所有可微函數在其定義域內任一點必連續。逆命題則不成立：一個連續函數未必可微。比如，一個有折點、尖點或垂直切線的函數可能是連續的，但在異常點不可微。

實踐中運用的函數大多在所有點可微，或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱可微函數在所有函數構成的集合中卻是少數。^[1]這表示可微函數在連續函數中不具代表性。人們發現的第一個處處連續但處處不可微的函數是魏爾斯特拉斯函數。

連續可微的分類

主條目：光滑函數

函數f是連續可微（continuously differentiable），如果導數f'(x)存在且是連續函數。可微函數f(x)之導數f'(x)不可能有跳躍不連續點，但可能有本性不連續點。例如考慮以下函數f(x)：

${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

此函數在x=0處可微，可照定義求出f'(0)：

${\displaystyle f'(0)=\lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\epsilon ^{2}\sin(1/\epsilon )-0}{\epsilon }}\right)=0,}$

但對x≠0，

${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}$

當x趨近於0時，f'(x)的極限並不存在。

連續可微函數被稱作${\displaystyle C^{1}}$函數。一個函數稱作'${\displaystyle C^{2}}$函數如果函數的一階、二階導數存在且連續。更一般的，一個函數稱作${\displaystyle C^{k}}$函數如果前k階導數f′(x), f″(x), ..., f^(k)(x) 都存在且連續。如果對於所有正整數n，f⁽ⁿ⁾存在，這個函數被稱為光滑函數或稱${\displaystyle C^{\infty }}$函數。

多元函數的可微性

參見：多元微積分

如果一個函數的所有偏導數在某點的鄰域內存在且連續，那麼該函數在該點可微，而且是class C¹。(這是可微的一個充分不必要條件)

形式上，一個多元實值函數 f: R^m → Rⁿ在點x₀處可微，如果存在線性映射J: R^m → Rⁿ滿足

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

注意，偏導數（甚至所有方向導數）都存在並不能保證函數在該點可微，考慮以下函數f: R² → R：

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$

此函數在(0, 0)並不可微，但其所有偏導數及方向導數在該點皆存在。以下是一個連續的例子：

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

此函數在(0, 0)並不可微，但其所有偏導數及方向導數在該點皆存在。

複變函數的可微性

主條目：全純函數

在複分析中，任何在某點附近可微的複變函數被稱為全純函數，這類函數也將會是無限可微，甚至是解析函數。

參考資料

1. Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179.. Cited by Hewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963. Theorem 17.8.