逆矩陣

逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。在線性代數中，給定一個n 階方陣${\displaystyle \mathbf {A} }$，若存在一n 階方陣${\displaystyle \mathbf {B} }$，使得${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}}$，其中${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$為n 階單位矩陣，則稱${\displaystyle \mathbf {A} }$是可逆的，且${\displaystyle \mathbf {B} }$是${\displaystyle \mathbf {A} }$的逆矩陣，記作${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$。

提示：此條目頁的主題不是轉置矩陣。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

只有方陣（n×n 的矩陣）才可能有逆矩陣。若方陣${\displaystyle \mathbf {A} }$的逆矩陣存在，則稱${\displaystyle \mathbf {A} }$為非奇異方陣或可逆方陣。

與行列式類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

求法

伴隨矩陣法

如果矩陣${\displaystyle A}$可逆，則${\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}}$其中${\displaystyle A^{*}=\mathrm {adj} (A)}$是${\displaystyle A}$的伴隨矩陣，${\displaystyle |A|=\mathrm {det} (A)}$是${\displaystyle A}$的行列式。

注意：${\displaystyle A^{*}}$中元素的排列特點是${\displaystyle A^{*}}$的第${\displaystyle k}$列元素是${\displaystyle A}$的第${\displaystyle k}$行元素的代數餘子式。要求得${\displaystyle A^{*}}$即為求解${\displaystyle A}$的餘因子矩陣的轉置矩陣。

初等轉換法

如果矩陣${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$互逆，則${\displaystyle AB=BA=I}$。由條件${\displaystyle AB=BA}$以及矩陣乘法的定義可知，矩陣${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$都是方陣。再由條件${\displaystyle AB=I}$以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知，這兩個矩陣的行列式都不為${\displaystyle 0}$。也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱為階，也就是說，A與B都是${\displaystyle n\times n}$方陣，且${\displaystyle rank(A)=rank(B)=n}$換而言之, ${\textstyle A}$與${\textstyle B}$均為滿秩矩陣）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行轉換，或者只經由初等列轉換，變為單位矩陣。

因為對矩陣${\displaystyle A}$施以初等行轉換（初等列轉換）就相當於在${\displaystyle A}$的左邊（右邊）乘以相應的初等矩陣，所以我們可以同時對${\displaystyle A}$和${\displaystyle I}$施以相同的初等行轉換（初等列轉換）。這樣，當矩陣${\displaystyle A}$被變為${\displaystyle I}$時，${\displaystyle I}$就被變為${\displaystyle A}$的逆陣${\displaystyle B}$。

性質

1. ${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$
2. ${\displaystyle (\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}}$
3. ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$
4. ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$（${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$為A的轉置）
5. ${\displaystyle \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}$（det為行列式）

廣義逆陣

主條目：廣義逆陣

廣義逆陣（Generalized inverse）又稱偽逆，是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指摩爾－彭若斯廣義逆，它是由E·H·摩爾和羅傑·潘洛斯分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小平方問題中有重要應用。

參見

• 矩陣
• 廣義逆陣
• 除法