雙伽瑪函數

雙伽瑪函數是伽瑪函數的對數導數。

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$

複平面上的雙伽瑪函數${\displaystyle \psi (s)}$。點${\displaystyle s}$的顏色與${\displaystyle \psi (s)}$的值有關。強烈的顏色意味著接近於零的值，而色彩則與輻角有關。

它是第一個多伽瑪函數。

與調和數的關係

雙伽瑪函數，通常用ψ₀(x)、ψ⁰(x)或${\displaystyle \mathrm {\Digamma} }$來表示，與調和數有以下的關係：

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}$

其中H_n是第n個調和數，γ是歐拉-馬歇羅尼常數。對於半整數的值，它可以表示為：

${\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}$

積分表示法

它有以下的積分表示法：

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}$

也可以寫為

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}$

這可以從調和數的歐拉積分公式得出。

泰勒級數

雙伽瑪函數有一個有理ζ級數，由z=1的泰勒級數給出。這是

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}}$,

當|z|<1時收斂。在這裡，${\displaystyle \zeta (n)}$是黎曼ζ函數。這個級數可以很容易從赫爾維茨ζ函數的泰勒級數推導出。

牛頓級數

雙伽瑪函數的牛頓級數可從歐拉積分公式得出：

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}$

其中${\displaystyle \textstyle {s \choose k}}$是二項式係數。

反射公式

雙伽瑪函數滿足一個反射公式，類似於伽瑪函數的反射公式：

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}$

遞推關係

雙伽瑪函數滿足以下的遞推關係：

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}$

高斯和

雙伽瑪函數具有以下形式的高斯和：

${\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}}$

其中m是整數，且${\displaystyle 0<m<k}$。在這裡，ζ(s,q)是赫爾維茨ζ函數，${\displaystyle B_{n}(x)}$是一個伯努利多項式。乘法定理的一種特殊情況是：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),}$

一個推廣為：

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi \left(a+{\frac {p}{q}}\right)=q[\psi (qa)-\ln(q)],}$

其中假設了q是自然數，而1-qa則不是。

高斯雙伽瑪定理

對於正整數${\displaystyle m\,}$和${\displaystyle k\,}$ ${\displaystyle \left(m<k\right)\,}$，雙伽瑪函數可以用初等函數來表示：

${\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor {\frac {k-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)}$

特殊值

雙伽瑪函數有以下的特殊值：

${\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left[\pi +\ln(3+2{\sqrt {2}})\right]-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }$

參見

• 伽瑪函數
• 三伽瑪函數
• 多伽瑪函數

參考文獻

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 參見第§6.3（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）節。
• 埃里克·韋斯坦因. Digamma function. MathWorld.