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一個尺規作圖問題,做出一線段,使得該線段的長度為已知線段的圓周率的平方根倍 来自维基百科,自由的百科全书
化圓為方是古希臘數學裡尺規作圖領域當中的命題,和三等分角、倍立方問題被並列為尺規作圖三大難題。其問題為:求一正方形,其面積等於一給定圓的面積。如果尺規能夠化圓為方,那麼必然能夠從單位長度出發,用尺規作出長度為的線段。
進入十九世紀後,隨著群論和域論的發展,數學家對三大難題有了本質性的了解。尺規作圖問題可以歸結為判定某些數是否滿足特定的條件,滿足條件的數也被稱為規矩數。所有規矩數都是代數數。而1882年,數學家林德曼證明了為超越數,因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。
在敘述化圓為方問題前,首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的「直尺和圓規畫圖可能性」問題抽象出來的數學問題,將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定,研究的是能不能在若干個具體限制之下,在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中,直尺和圓規的定義是[1]:
定義了直尺和圓規的特性後,所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟,稱為作圖公法[1]:
尺規作圖研究的,就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複,達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是:「給定某某條件,能否用尺規作出某某對象?」比如:「給定一個圓,能否用尺規作出這個圓的圓心?」,等等。[1]
化圓為方問題的完整敘述是:
“ | 給定一個圓,是否能夠通過以上說明的五種基本步驟,於有限次內作出一個正方形,使得它的面積等於圓的面積 | ” |
如果將圓的半徑定為單位長度,則化圓為方問題的實質是作出長度為單位長度倍的線段。[2]
化圓為方問題是指已知單位長度1,要作出的長度。這等價於從1開始作出。然而,能夠用尺規作出的數z都有對應的最小多項式。也就是說,存在有理係數的多項式m,使得
然而,1882年,林德曼等人證明了對於圓周率來說,這樣的多項式不存在。數學家將這樣的數稱為超越數,而將有對應的多項式的數稱為代數數。所有規矩數都是代數數,而不是,這說明用尺規作圖是無法化圓為方的。[1]
林德曼證明的超越性用到了現在稱為林德曼-魏爾斯特拉斯定理的結論。林德曼-魏爾斯特拉斯定理說明,如果若干個代數數在有理數域上線性獨立,那麼也在上線性獨立。反設是代數數,那麼也是代數數。考慮代數數0和,由於是無理數,所以它們在上線性獨立。然而和分別是1和-1,並非在上線性獨立,矛盾。這說明不是代數數,而是超越數。[2]
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