利普希茨連續

在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（Lipschitz continuity）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的絕對值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。

定義

對於利普希茨連續函數，存在一個雙圓錐(白色)其頂點可以沿著曲線平移，使得曲線總是完全在這兩個圓錐外。

對於在實數集的子集的函數${\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ，若存在常數${\displaystyle K}$，使得${\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\quad \forall a,b\in D}$，則稱${\displaystyle f}$ 符合利普希茨條件，對於${\displaystyle f}$ 最小的常數${\displaystyle K}$ 稱為 ${\displaystyle f}$ 的利普希茨常數。

若${\displaystyle K<1}$，${\displaystyle f}$ 稱為收縮映射。

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：

給定兩個度量空間${\displaystyle (M,d_{M}),(N,d_{N})}$，${\displaystyle U\subseteq M}$。若對於函數${\displaystyle f:U\to N}$，存在常數${\displaystyle K}$ 使得

${\displaystyle d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}$

則說它符合利普希茨條件。

若存在${\displaystyle K\geq 1}$使得

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{M}(a,b)\leq d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}$

則稱${\displaystyle f}$為雙李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

主條目：柯西-利普希茨定理

若已知${\displaystyle y(t)}$有界，${\displaystyle f}$符合利普希茨條件，則微分方程初值問題${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}}$剛好有一個解。

在應用上，${\displaystyle t}$通常屬於一有界閉區間（如${\displaystyle [0,2\pi ]}$）。於是${\displaystyle y(t)}$必有界，故${\displaystyle y}$有唯一解。

例子

• ${\displaystyle f:[-3,7]\to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}}$符合利普希茨條件，${\displaystyle K=4}$。
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}}$不符合利普希茨條件，當${\displaystyle x\to \infty ,\quad f'(x)\to \infty }$。
• 定義在所有實數值的${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$符合利普希茨條件，${\displaystyle K=1}$。
• ${\displaystyle f(x)=|x|}$符合利普希茨條件，${\displaystyle K=1}$。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
• ${\displaystyle f:[0,1]\to [0,1],\quad f(x)={\sqrt {x}}}$不符合利普希茨條件，${\displaystyle x\to 0,\quad f'(x)\to \infty }$。不過，它符合赫爾德條件。
• 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界，${\displaystyle f}$符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有${\displaystyle C^{1}}$函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

性質

• 符合利普希茨條件的函數連續，實際上一致連續。
• 雙李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射。
• Rademacher定理：若${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$且${\displaystyle A}$為開集，${\displaystyle f:A''\to \mathbb {R} ^{n}}$符利普希茨條件，則${\displaystyle f}$幾乎處處可微。^[1]
• Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間${\displaystyle H_{1},H_{2}}$，${\displaystyle U\in H_{1}}$，${\displaystyle f:U\to H_{1}}$符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的${\displaystyle F:H_{1}\to H_{2}}$，使得${\displaystyle F}$的利普希茨常數和${\displaystyle f}$的相同，且${\displaystyle F(x)=f(x)\quad \forall x\in U}$。^[2][3]

參考

1. Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. （第18頁以後）
2. M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
3. J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.