累積分布函數

累積分布函數（英語：cumulative distribution function，CDF）或機率分布函數，簡稱分布函數，是機率密度函數的積分，能完整描述一個實隨機變數${\displaystyle X}$的機率分布。

指數分布的累積分布函數

常態分布的累積分布函數

在標量連續分布的情況下，它給出了從負無窮到${\displaystyle x}$的機率密度函數下的面積。 累積分布函數也用於指定多元隨機變數（英語：Multivariate random variable）的分布。

定義

對於所有實數值的隨機變數${\displaystyle X}$ ，累積分布函數定義如下^{[1]:p. 77}：

$${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$$

Eq.1

其中右側表示隨機變數${\displaystyle X}$取值小於或等於${\displaystyle x}$的機率。

對於${\displaystyle X}$位於半閉區間${\displaystyle (a,b]}$ 的機率，其中${\displaystyle a<b}$，因此定義是^{[1]:p. 84}:

$${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$$

Eq.2

在上面的定義中，「小於或等於」符號「≤」是一種約定，不是普遍使用的（例如匈牙利文獻使用「<」），但這種區別對於離散分布很重要。二項式分布和卜瓦松分布的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家保羅·皮埃爾·萊維(Paul Lévy)的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於「小於或等於」公式。

性質

• 有界性^[2]
  • ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}$
• 單調性：
  • ${\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}$
• 右連續性：
  • ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}$

${\displaystyle X}$之值落在一區間${\displaystyle (a,b]}$之內的機率為

${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$

一隨機變數${\displaystyle X}$的CDF與其PDF的關係為

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}$

反函數

若累積分布函數 ${\displaystyle F}$ 是連續的嚴格增函數，則存在其反函數${\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}$。累積分布函數的反函數可以用來生成服從該隨機分布的隨機變數。設若${\displaystyle F_{X}(x)}$是機率分布${\displaystyle X}$的累積分布函數，並存在反函數${\displaystyle F_{X}^{-1}}$。若${\displaystyle a}$是${\displaystyle [0,1)}$區間上均勻分布的隨機變數，則${\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}$服從${\displaystyle X}$分布。

互補累積分布函數

互補累積分布函數（complementary cumulative distribution function、CCDF），是對連續函數，所有大於${\displaystyle a}$的值，其出現機率的和。

${\displaystyle F(a)=P(x>a)}$

參見

• 機率密度函數
• 機率質量函數

參考

1. Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3.
2. 《機率論與數理統計教程》茆詩松 程依明 濮曉龍