全機率定理

全機率定理(Law of total probability)，假設{ B_n : n = 1, 2, 3, ... } 是一個機率空間的有限或者可數無限的分割（既 B_n為一完備事件組），且每個集合B_n是一個可測集合，則對任意事件A有全機率公式：

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,}$

又因為

${\displaystyle \Pr(A\cap B_{n})=\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),}$

此處Pr(A | B)是B發生後A的條件機率，所以全機率公式又可寫作：

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}).\,}$

全機率公式將對一複雜事件A的機率求解問題轉化為了在不同情況或不同原因 B_n下發生的簡單事件的機率的求和問題。

條件機率的期望值

在離散情況下，上述公式等於下面這個公式。但後者在連續情況下仍然成立：

${\displaystyle \Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))}$

此處N是任意隨機變數。

這個公式還可以表達為：

"A的事前機率等於A的事後機率的事前期望值。

參見

• 雙重期望值定理
• 全變異數定理
• law of total cumulance