克拉克變換

克拉克變換（Clarke transformation）也稱為${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$變換，是電機工程學裡簡化三相電分析的數學變換（英語：Transform (mathematics)），常用在三相逆變器的控制上，可以將平衡的三相系統轉換為互相垂直的二相系統，方便信號的處理。

克拉克變換和派克變換（park transform）都是簡化三相電分析用的數學變換，在電機控制時也常一起使用。

歷史

伊迪絲·克拉克（英語：Edith Clarke）在1937年和1938年發表了應用在不平衡三相電力系統的變換及計算，此方法可以簡化計算^[1]。

定義

伊迪絲·克拉克用在三相電流的克拉克變換如下^[2]：

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

其中

${\displaystyle i_{abc}(t)}$是一般的三相電流

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$是經${\displaystyle T}$變換後所得的電流

逆變換為：

${\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

上述的克拉克變換保持了電機變數的量值。考慮以下對稱的三相電流信號

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle I}$是${\displaystyle i_{a}(t)}$、${\displaystyle i_{b}(t)}$和${\displaystyle i_{c}(t)}$的平方平均數

${\displaystyle \theta (t)}$是隨時間變化的角度，可以表示為${\displaystyle \omega t}$^。

將上述三相電流信號進行變換，可得

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

變換後的電流量值和變換前相同。

功率不變變換

電機系統的電壓和電流，經過上述的變換後，實功和虛功會和原系統會差一個係數，原因是因為${\displaystyle T}$不是酉矩陣（unitary matrix）。若要讓實功和虛功的值在變換前後相同，需要用以下的變換

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

變換矩陣是酉矩陣，而且其逆矩陣恰好為其轉置矩陣^[3] 不過在此例中，變換後電流的量值就和變換前不同了，變換後的電流如下

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

其逆變換為

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

簡化的變換

在平衡系統中，${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$，因此，${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$。以下是簡化版的變換^[4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

是只考慮前二個方程的克拉克變換，其逆變換如下

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}}$

幾何詮釋

克拉克變換可以視為是將三個相量（電壓或電流）投影到二個固定的座標軸（alpha軸和beta軸）上。若三相平衡的話，所有資訊都可以保留，因為方程${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$和變換後的${\displaystyle I_{\gamma }}$的方程等效。若系統不平衡，則在投影後${\displaystyle I_{\gamma }}$項會有誤差量。因此，${\displaystyle I_{\gamma }}$為0表示三相系統平衡，可以只考慮二個座標下的運算。這是克拉克變換的優雅之處，在三相平衡的假設下，將三個分量的系統變換為二個分量的系統。

另一種理解的方式是方程${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$定義了一個在三維空間下的平面，alpha-beta座標空間可以理解為該平面上的座標，也就這二個座標軸都在${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$定義的平面上。

[[Image:AlphaBeta geometric interpretation.gif|center|frame|上圖是${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$變換應用在三個相差120度的對稱電流上。三個電流和對應電壓相量的角度差為${\displaystyle \delta }$。圖中The ${\displaystyle \alpha }$-${\displaystyle \beta }$軸的標示方式是讓${\displaystyle \alpha }$軸和A相重合，電流向量${\displaystyle I_{\alpha \beta \gamma }}$以角速度${\displaystyle \omega }$旋轉，因為是三相平衡系統，沒有${\displaystyle \gamma }$分量。

相關條目

• 對稱分量（英語：Symmetrical components）
• Y-Δ變換
• 向量控制

參考資料

1. O'Rourke, Colm J. A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park. IEEE Transactions on Energy Conversion. December 2019, 34, 4 (4): 2070–2083. Bibcode:2019ITEnC..34.2070O. S2CID 203113468. doi:10.1109/TEC.2019.2941175. hdl:1721.1/123557  –透過MIT Open Access Articles （英語）.
2. W. C. Duesterhoeft; Max W. Schulz; Edith Clarke. Determination of Instantaneous Currents and Voltages by Means of Alpha, Beta, and Zero Components. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. July 1951, 70 (2): 1248–1255. ISSN 0096-3860. S2CID 51636360. doi:10.1109/T-AIEE.1951.5060554.
3. S. CHATTOPADHYAY; M. MITRA; S. SENGUPTA. Area Based Approach for Three Phase Power Quality Assessment in Clarke Plane. Journal of Electrical Systems. 2008, 04 (1): 62 [2020-11-26].
4. F. Tahri, A.Tahri, Eid A. AlRadadi and A. Draou Senior, "Analysis and Control of Advanced Static VAR compensator Based on the Theory of the Instantaneous Reactive Power," presented at ACEMP, Bodrum, Turkey, 2007.
5. Clarke Transform. www.mathworks.com.

外部連結

• C.J. O'Rourke et al. "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.