佩龍公式

在數學或更具體地，其分支解析數論中，佩龍公式（英語：Perron's formula）源自德國數學家奧斯卡·佩龍，是利用逆梅林變換來計算算術函數的和。

定理陳述

令 ${\displaystyle \{a(n)\}}$ 為一算術函數，並令

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

為其對應的狄利克雷級數。假設這狄利克雷級數對 ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ 一致收斂，那麼佩龍公式為：

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz.\;}$

此處求和符號上的一撇表示當x是整數時，和式中最後一項要乘以1/2。這個積分不是收斂的勒貝格積分，應當理解為柯西主值。這個公式要求 c > 0, c > σ 和實數x > 0，但除以上條件以外別無限制。

證明

用阿貝爾求和公式可以得到一個簡單的證明梗概：

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

這不過是在變量代換${\displaystyle x=e^{t}}$下的拉普拉斯變換，運用拉普拉斯變換的反轉公式就能得到佩龍公式。

例子

由於和狄利克雷級數的關係，佩龍公式常被用於解析數論中的求和。例如我們對黎曼ζ函數有如下的著名積分表示：

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx.}$

對於狄利克雷L函數也有類似的公式：

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

其中

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

和 ${\displaystyle \chi (n)}$ 是狄利克雷特徵.

參考文獻

• 第243頁，Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. 1976. ISBN 978-0-387-90163-3. MR 0434929. Zbl 0335.10001.
• 埃里克·韋斯坦因. Perron's formula. MathWorld.
• Tenebaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Translated by C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.