伯努利試驗

伯努利試驗（Bernoulli trial，或譯為白努利試驗）是只有兩種可能結果（「成功」或「失敗」）的單次隨機試驗，即對於一個隨機變數X而言，

${\displaystyle Pr[X=1]\;=\;p}$

${\displaystyle Pr[X=0]\;=\;1-p}$

本試驗是由雅各布·白努利（德語：Jakob I. Bernoulli，1654年12月27日－1705年8月16日）所提出。

來自日常生活的解釋

伯努利試驗指的是單次事件，而這次事件的結果是兩個可能性結果中的一個。這樣的事件都可以表達成「是或否」（"yes or no"）問題。例如：

• 硬幣掉落後是人頭朝上嗎？
• 剛出生的小孩是個男孩嗎？
• 一個人的雙眼是彩色的嗎？
• 在有蚊子的地方噴灑殺蚊劑，蚊子會死掉嗎？
• 一個可能是顧客的人會買我的產品嗎？
• 公民（citizen）會投給特定的候選人嗎？
• 雇員會投票支持工會嗎?

因此結果稱為「成功」和「失敗」，而結果不應該照字面推斷。伯努利試驗的例子包括：

• 拋硬幣。在這裡，正面（人頭面）通常表示成功而反面（刻字面）表示失敗。一枚均勻硬幣，按照定義成功機會是一半p=1/2。
• 擲骰子，在這個例子裡我們稱六是"成功"而其他都是"失敗"，p=1/6。
• 在四式選擇題，答對的機會p=1/4。
• 實施一個政見調查（political opinion poll），隨機選擇一個投票者並了解這個投票者在接下來的公民投票（referendum）會不會投"是"。

在數學上，這樣的試驗是以隨機變數為模型，而隨機變數只能有兩個值：0和1，1被認為是"成功"。在單次的伯努利試驗中，如果 p 是成功的機率，那麼將呈現伯努利分布，此時隨機變數的期望值就是 p ，且其標準差為${\displaystyle {\sqrt {p(1-p)}}.}$

一個伯努利過程（Bernoulli process）是由重複出現獨立但是相同分布的伯努利試驗組成，例如拋硬幣十次，而此時呈現之結果將呈現二項分布。

參見

• 卜瓦松試驗
• 伯努利分布