伯克霍夫-格羅滕迪克定理

在代數幾何學中，伯克霍夫-格羅滕迪克定理（英文：Birkhoff–Grothendieck theorem）刻畫了復射影直線上的全純向量叢。具體而言，所有 ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}}$上的全純向量叢都是全純線叢的直和^[1]。

正式表述

伯克霍夫-格羅滕迪克定理指出，在${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}}$ 上，任何一個全純向量叢 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 總是全純同構於線叢的直和

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).}$

該表示在不計直和項的排列順序的意義下是唯一的。

推廣

伯克霍夫-格羅滕迪克定理可以被推廣。對於復射影直線 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 上的代數向量叢，該結論也成立，其中 ${\displaystyle k}$ 是任意的一個域^[2]。

參見

• K-理論
• 歐拉正合列
• 射影空間

參考資料

1. Grothendieck, A. Sur La Classification Des Fibres Holomorphes Sur La Sphere de Riemann. American Journal of Mathematics. 1957-01, 79 (1): 121 [2021-01-11]. doi:10.2307/2372388. （原始內容存檔於2020-07-06）.
2. Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line. Journal of Pure and Applied Algebra. 1982-08, 25 (2): 207–211 [2021-01-11]. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8. （原始內容存檔於2019-02-05） （英語）.

延伸閱讀

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. Vector bundles on complex projective spaces. Progress in Mathematics. Birkhäuser. 1980.