偽度量

對於集合${\displaystyle X}$中任意元素${\displaystyle x,y}$，若實值函數${\displaystyle d:(X,X)\to R}$符合以下三個條件，稱它為一個偽度量（pseudometric）。

• ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

它和一般距離（度量）的定義的分別只在於偽度量容許對於相異的元素${\displaystyle x,y}$，${\displaystyle d(x,y)=0}$。

例子

• ${\displaystyle X}$為向量空間，${\displaystyle p}$是半範數，${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}$是${\displaystyle X}$的偽度量
• 有集${\displaystyle X,Y}$，其中${\displaystyle Y}$上有一距離${\displaystyle d(Y)}$，設${\displaystyle F(X)}$為所有${\displaystyle X\to Y}$的函數之集，取${\displaystyle x_{0}\in X}$，則${\displaystyle d(f,g)=d_{Y}(f(x_{0})-g(x_{0}))}$是一個${\displaystyle F(X)}$的偽度量。

拓撲空間

• 對於集${\displaystyle X}$有偽度量d，則所有開球${\displaystyle S_{r}=\{x\in X|d(p,x)<r\}}$的族可以作為${\displaystyle X}$內一個拓撲空間的基。該拓撲空間是
• T₄。
• 第一可數空間。

若它是T₀，它是可距空間。

參考文獻

• Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer. 1990. ISBN 3-540-18178-4. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur. Counterexamples in Topology new edition. Dover Publications. 1995 [1970]. ISBN 048668735X. 引文使用過時參數coauthors (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
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• Example of pseudometric space. PlanetMath.