二次體

在代數數論中，二次體是在有理數體${\displaystyle \mathbb {Q} }$上次數為二的數體。二次體可以唯一地表成${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$，其中${\displaystyle d}$無平方數因數。若${\displaystyle d>0}$，稱之為實二次體；否則稱為虛二次體或複二次體。虛實之分在於${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$是否為全實體

二次體的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次體是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如類數問題。

整數環與判別式

二次體${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$裡的整數環${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$定義為該體中的代數整數。當${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$時，整數環可描述為${\displaystyle \mathbb {Z} ({\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}})}$，否則為${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {d}})}$。當${\displaystyle d=-1}$時，這些整數稱為高斯整數，當${\displaystyle d=-3}$時，稱為艾森斯坦整數。

根據上述描述，${\displaystyle K}$的判別式不難計算：當${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$時判別式為${\displaystyle d}$，否則則為${\displaystyle 4d}$。

二次體上的分歧理論

設${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$，${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$為質數。數論關注的問題是${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$如何在${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$中分解成質理想之積。根據數體的分歧理論，應考慮以下情形：

• ${\displaystyle p}$是慣性的：${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$仍為質理想，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p^{2}}}$。
• ${\displaystyle p}$分裂：${\displaystyle (p)}$為兩個相異質理想之積，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p}^{2}}$。
• ${\displaystyle p}$分歧：${\displaystyle (p)}$為某個質理想之平方，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)}$含有非零的冪零元素。

根據之前對判別式的計算，可知${\displaystyle p}$分歧若且唯若${\displaystyle p}$整除${\displaystyle K}$的判別式（${\displaystyle d}$或${\displaystyle 4d}$，取決於${\displaystyle d\mod 4}$）；對其餘無窮多個質數，前兩個情形皆會發生，而且其機率在某種意義上相等。

素p分圓體和二次體

分圓體素p（p＞2）次根群所產生二次子體，也是伽羅瓦理論（埃瓦里斯特·伽羅瓦）的一個結論，在有理體上有惟一指數2Galois子群，，二次體特例d=-1時成稱高斯整環，有判別式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整環分歧條件叫高斯週期（Gaussian period）。

其他的分圓體

如果一個分圓體，他們有額外的2-扭伽羅瓦群，那麽就至少包含三個二次體。一般通過分圓體二次子體的判別式D的可以得到D次單位根組成的子體（D-th roots of unity）。這表示一個事實，即二次體的前導子（conductor） 是判別式D的絕對賦值 （value） 。

參考文獻

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972.
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9. 引文使用過時參數coauthors (幫助) Chapter 3.1.