中線

中線或重線是三角形中從某邊的中點連向對角的頂點的線段。三角形的三條中線總是相交於同一點，這個點稱為三角形的重心。

圖中${\displaystyle \triangle }$ ABC和中線AD

性質1

任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

證明

考慮三角形ABC。設D為${\displaystyle {\overline {AB}}}$的中點，E為${\displaystyle {\overline {BC}}}$的中點，F為${\displaystyle {\overline {AC}}}$的中點，O為重心。

根據定義，${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$，因此${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]}$，其中${\displaystyle [ABC]}$表示三角形ABC的面積。

我們有：

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

因此，${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$且${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$。

由於${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$，所以${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$。 同理，也可以證明${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$。

性質2

在${\displaystyle \triangle }$ ABC中，連接角A的中線記為${\displaystyle m_{a}}$，連接角B的中線記為${\displaystyle m_{b}}$，連接角C的中線記為${\displaystyle m_{c}}$，它們長度的公式為：

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}}$

${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$

證明

在${\displaystyle \triangle }$ABD中，${\displaystyle AD=m_{a}}$

${\displaystyle (m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD}$（餘弦定理）

以a,b,c表示${\displaystyle \cos \angle ABD}$

${\displaystyle i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$ & ${\displaystyle BD={\frac {a}{2}}}$

把以上兩等式代入原式，

${\displaystyle i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$

${\displaystyle =(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})}$

${\displaystyle ={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}}$

${\displaystyle ={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$

∴${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

同理，可證得其他二式

Q.E.D.

參見

• 中線定理
• 角平分線長公式