不可複製原理

不可複製原理（No-cloning theorem）是量子物理的一個重要結論，即不可能構造一個能夠完全複製任意量子位元，而不對原始量子位元產生干擾的系統。量子力學的線性特徵是這個原理的根本原因。

不可複製原理是量子資訊學的基礎。量子資訊在信道中傳輸，不可能被第三方複製而竊取資訊而不對量子資訊產生干擾。因此這個原理也是量子密碼學的基石。

證明

為了證明不可複製原理，我們首先假定，存在一個系統能夠完全拷貝任意的量子位元。

${\displaystyle |\phi \rangle }$ 和 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 是兩個任意的量子狀態，我們要把這兩個狀態拷貝到另一個與他們完全無關的狀態${\displaystyle |k\rangle }$上。我們用一個么正算符${\displaystyle U}$來描述這個過程。則這個拷貝算符必須具備以下性質：

${\displaystyle U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle }$

${\displaystyle U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle }$

內積${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle }$可得出以下兩個等式：

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle }$

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle }$

這樣便得到了：

${\displaystyle \langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,}$

${\displaystyle {\to }}$

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.}$

因為${\displaystyle \langle k|k\rangle =1}$，所以得出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .}$

這個等式僅有的兩個解是${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$ 和 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$。這意味著，要麼 ${\displaystyle \phi =\psi }$ （當 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$），要麼 ${\displaystyle \phi }$ 與 ${\displaystyle \psi }$ 正交（當 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$)。只能夠複製相同或正交的狀態，這並不是我們最初假設的任意狀態的完全複製，不可複製原理證明完畢。

舉例

無法從${\displaystyle |\psi \rangle }$造出${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$。

設狀態${\displaystyle |\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$。 則${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle =a^{2}|00\rangle +ab|01\rangle +ab|10\rangle +b^{2}|11\rangle }$

把${\displaystyle |\psi \rangle }$與${\displaystyle |0\rangle }$ 作為輸入：

${\displaystyle |\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle }$

經過受控反閘，輸出:

${\displaystyle a|00\rangle +b|11\rangle }$

這與${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$ 並不相等，狀態沒有被複製。

參考文獻

• W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Nature 299 (1982), pp. 802–803.
• D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
• V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.