三角級數

在數學中，三角級數是任何具有下述形式的級數：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx}).}$^[1]

當${\displaystyle A_{n}}$和${\displaystyle B_{n}}$具有以下形式時，該級數稱為傅立葉級數：

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,\dots )}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )}$

其中${\displaystyle f}$是可積函數。^[1]

並不是所有三角級數都是傅立葉級數。一個有趣的問題是給定一個三角級數，當x取什麼值時級數收斂。

康托爾三角級數唯一定理

格奧爾格·康托爾在1870年證明了這一定理。如果三角級數的和函數是零，那麼，該三角級數的各項係數均為零。因此，如果兩個三角級數的和函數相等，那麼它們的各項係數也相等。

文獻

• A. Zygmund,1935, "Trigonmetric Series"

註記

1. Harry F. Davis, Fourier Series and Orthogonal Functions . 頁89