三立方數和問題（英語：sums of three cubes）是指丟番圖方程是否存在整數解的問題。由於立方數模9同餘0、1或-1，三立方數和模9不可能同餘4或5，因而這是整數解存在的一個必要條件。然而，對於該條件是否同時為充分條件目前仍未有定論。
小整數例
時，若存在非平凡的三立方解，則費馬大定理找到反例。此時三個立方數中必有兩個同號，經移項，就會出現兩正整數立方和等於另一正整數立方的情況。由於歐拉早已證明冪次為3的費馬大定理[1]，在時的三立方和只有如下平凡解：
時，存在如下解系，有無數解：
以及，
上述表示經縮放可得，任意立方數或立方數的二倍都有三立方和[2][3]。除上述表示外，也有其他三立方和解系[4]，有如下著名解[4][5]：
然而，已經證明只在1和2處存在能被四次多項式參數化的解析表示[6]。即便在處，也沒有參數化解系。路易斯·J·莫德爾在1953年寫道，除了其小整數解，「我對其一無所知」，即：
「我」也不知道為什麼這三個數都滿足模9同餘[7]。2019年9月前，上述兩式曾經是長期以來僅有的2組已知解[8]，但就在同一月，發現了第3組解[9][10]：
計算結果
1955年起，莫德爾（Mordell）等許多學者都嘗試過使用計算機尋找該問題的解。[11][12][5][13][14][15][16][17][18]對於1000以內的正整數，埃爾森漢斯（Elsenhans）與雅內爾（Jahnel）於2009年使用諾姆·埃爾奇斯提出的基於格規約的方法[15]找到了範圍內的所有解。2016年，於斯曼（Huisman）使用同樣的方法將搜索上界提升至。到此時為止，的正整數中，33與42以外所有模9不同餘4或5的都找到了至少一組整數解。[18]
2019年，安德魯·布克採用一種新方法發現了的一組解：[19]
此時，他在的範圍里尚沒有找到的解。[19]
隨後在2019年9月，布克和安德魯·薩瑟蘭最終敲定了42的一個解，並在MIT數學系的網站上貼了出來[註 1]：
這個解的獲得在Charity Engine全球網絡（Charity Engine's global grid）上耗費了130萬機時。
至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解[20]。截至2019年9月[update]，未能求解最小整數是[8]，如果有解的話，至少有一數大於100000000000。
在2021年1月初，又解決了579[21]：
注釋
參考文獻
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