K·p微擾論又名K·p微擾法,是固體物理中用來計算固體能帶結構和光學性質的一種微擾方法,因微擾哈密頓算符中出現了正比於簡約波向量(k)與動量算符(p)內積的項而得名。該方法可以近似估計半導體中的電子在導帶底的有效質量。[1][2]
在晶體中,勢場具有週期性,如果給其中電子的波函數加以週期性邊界條件,則波函數將具有布洛赫波的形式:[1]
![{\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }u_{n,\mathbf {k} }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4090c63c8e2e053f1c8f882212f7a657578362)
其中
是簡約波向量,
是週期函數,且週期與晶格的週期完全相同。[1]
將該表達式代入定態薛丁格方程式,可得
滿足的方程式。該方程式在形式上類似於定態薛丁格方程式:[1]
![{\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b99508119e8e47563523530f6e8ed96d03614a0)
其「哈密頓算符」為:
K·p微擾論適用於簡約波向量
較小的情形下。此時可將「哈密頓算符」中不含有簡約波向量
的項視為無微擾的「哈密頓算符」,把含有簡約波向量
的項視為「微擾哈密頓算符」,即:[1]
![{\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7a912f7340fa3b4856bd447a6f1bff6b6d42a5)
利用微擾方法可以用所有
的線性組合表達某個能帶的
,進而給出能量
與簡約波向量
的近似關係。如果
是不簡併的,考慮到一級修正後
的表達式為:[1]
![{\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ad4fdb766307957c0c5c27264e6587fe6c65b5)
考慮二級修正以後能量的表達式為:[1]
![{\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}\sum _{i,j}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}k_{i}k_{j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2505cf836dd2fa9c654fdd3e79b80c68a95d1b)
電子的倒有效質量張量近似為:[1]
![{\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3be41a0f98facfa5bbca8b53bbfb16573bf79e9)
在直接帶隙半導體中,導帶底部的電子對應的簡約波向量為零,它的有效質量可運用K·p微擾論近似計算。微擾論中最近鄰態的微擾貢獻最大。導帶底和價帶頂的態互為最近鄰態,僅考慮彼此的微擾貢獻,K·p微擾論的結果可進一步簡化為:[1]
![{\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle ||\langle u_{c,0}|p_{j}|u_{v,0}\rangle |}{E_{g}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bedd85626e7b63a39a97a8abc48cdf095dfd21)
式中
為導帶底與價帶頂的能量差,即帶隙;腳標v和c分別指代價帶頂與導帶底的態。如果所考慮的導帶底是旋轉對稱的,倒有效質量張量可以用一個純量代替:[1]
![{\displaystyle {\frac {1}{m^{\star }}}={\frac {1}{m}}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{i}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle |^{2}}{E_{g}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d831862d816336ba2e2a58a40b7897d48aeecc3d)
表明半導體的帶隙越小,導帶底電子有效質量也越小。對通常的半導體來說,導帶底電子的有效質量遠小於電子的真實質量,且矩陣元與電子真實質量的比值近似為一個常量10eV。故:[1]
![{\displaystyle {m^{\star }}/m=E_{g}/20ev}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a87253dd83b58b6ce2b38d763f19a42633799a)
該公式給出的導帶底電子有效質量近似值與絕大多數IV族、III-V族、II-VI族直接帶隙半導體實測值的誤差在15%以內。[3]
如果考慮自旋-軌道作用,仍然可以用類似方法處理。此時「哈密頓算符」應寫為:[2]
![{\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca02797763c252453baf2b08305a2d2dd7106a5)
如果
有簡併,需要使用簡併微擾理論。[4]Luttinger–Kohn模型可以處理這類問題。[5]
黃昆、韓汝琦. 固体物理学. 高等教育出版社. 1988: p328.