若且唯若(英語:if and only if,iff),在數位邏輯中,邏輯算符反互斥或閘(英語:Exclusive NOR)是對兩個運算元的一種邏輯分析類型,符號為XNOR或ENOR或。與一般的邏輯或非NOR不同,當兩兩數值相同為是,而數值不同時為否。在數學、哲學、邏輯學以及其他一些技術性領域中被用來表示「在這個條件成立,並且僅在這個條件成立時」之意。若命題滿足「若則」且「唯若則」時,稱為「若且唯若則」,其他等價的說法有「若且唯若[註 1]」;「是的充分必要條件(充要條件)」;「等價於」。
此條目需要補充更多來源。 (2020年9月19日) |
「若且唯若」的各地常用名稱 | |
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中國大陸 | 當且僅當 |
臺灣 | 若且唯若 |
港澳 | 當且僅當 |
若且唯若的邏輯符號
一般而言,當我們看到「若且唯若則」,我們可以知道「如果成立時,則一定成立;如果成立時,則也一定成立」;「如果不成立時,則一定不成立;如果不成立時,則也一定不成立」。
若且唯若
與此相對應的邏輯符號是和。這兩個通常被當作是相等的。但是,一些數學教科書,特別是那些關於一階邏輯而非命題邏輯對此有所區別,在那裡前者被用來表示邏輯公式,後者表示那些公式的推理(譬如說在元邏輯中)。
設與為兩命題,在證明「若且唯若則」時,這相當於去同時證明陳述「如果成立,則成立」和「如果成立,則成立」。另外,也可以證明「如果成立,則成立」和「如果不成立,則不成立」,後者作為對偶,等價於「如果成立,則成立」。
在出版物中,英語iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯,但在哈爾莫斯的自傳中卻聲明該標記另有出處,他只是首先在數學領域使用[1]。
「若」與「若且唯若」
簡單地,如下的兩個例子可以說明這兩者的不同:
- 若冰淇淋是香草口味的,小王會吃。
- 換言之:如果冰淇淋是香草口味的,那麼小王一定會吃。
- 若且唯若冰淇淋是香草口味的,小王會吃。
- 換言之:如果冰淇淋是香草口味的,那麼小王一定會吃;且如果小王有吃冰淇淋,那麼冰淇淋一定是香草口味的。
第1句指小王一定會吃香草口味的冰淇淋,但沒有排除他會吃香草口味以外冰淇淋的可能性,能肯定的是他不會拒絕香草口味的冰淇淋。
第2句指小王一定吃且只吃香草口味的,他不會吃其它口味的冰淇淋。
進一步的思考
用「若且唯若」連接兩個句子造成的句子被稱為是「雙條件句」。「若且唯若」把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關係的「邏輯等價」混淆。
雙條件句「若且唯若則」,是用和來陳述和所描述的事件狀況之間的關係。
相對照的,「邏輯等價於」則注重兩個句子:它只是陳述兩個句子之間的關係,而不是它們所介紹的什麼事情。
這裡的區別非常容易混淆,已經使得很多哲學家迷惑。當然,在「邏輯等價於」時,「若且唯若則」為真,但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子:
- 若且唯若冰淇淋是香草口味,則小王會吃這個冰淇淋。
很清楚,對於這個特定的雙條件句,兩個半句之間並沒有邏輯等價。[2]
在哲學和邏輯學中,「若且唯若」通常用作定義,因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中,相比起「若且唯若」,如果通常被用於定義。這裡給出一些使用到「若且唯若的」真陳述,也是真雙條件句(第一句是一個定義的例子):
- 若且唯若一個人是未婚且可結婚的男人,則他是單身男性。
- 若且唯若,則。
- 對於任意命題,若且唯若,則。
更一般的用法
「若且唯若」在邏輯領域以外,在數學出版物或者普通的談話中也會用到。如同上面所說,它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。