完備化 (環論)

在交換代數中，可以探討一個交換環 ${\displaystyle R}$ 本身，或一個 ${\displaystyle R}$-模對一理想 ${\displaystyle I\subset R}$ 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。

幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。

I-進拓撲

對於一個交換環 ${\displaystyle R}$ 及其理想 ${\displaystyle I}$（通常取為極大理想），可以藉著取 ${\displaystyle I^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ 為零元素的開鄰域，賦予 ${\displaystyle R}$ 相應的拓撲結構，使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 ${\displaystyle I}$-進拓撲。

對於一個 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$，同樣可考慮零元素的開鄰域 ${\displaystyle I^{n}M}$，由此得到 ${\displaystyle M}$ 上的 ${\displaystyle I}$-進拓撲。

完備化及其性質

模 ${\displaystyle M}$ 對 ${\displaystyle I\subset R}$ 的完備化定義為射影極限：

${\displaystyle {\hat {M}}:=\varprojlim _{n}M/I^{n}M}$

正如其名，${\displaystyle {\hat {M}}}$ 對其 ${\displaystyle I}$-進拓撲是完備的。對於固定的 ${\displaystyle I\subset R}$，${\displaystyle M\mapsto {\hat {M}}}$ 是從 ${\displaystyle R}$-模範疇（態射為模同態）到 ${\displaystyle I}$-進拓撲 ${\displaystyle R}$-模（態射為連續同態）的函子；透過自然同態 ${\displaystyle M\to {\hat {M}}}$，它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子，因而是右正合的。

對於諾特環，${\displaystyle {\hat {R}}}$ 是平坦的 ${\displaystyle R}$-模。此時，對任何有限生成 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$，自然態射 ${\displaystyle {\hat {M}}\to M\otimes _{R}{\hat {R}}}$ 是個同構。綜上所述，對於諾特環 ${\displaystyle R}$上的有限生成 ${\displaystyle R}$-模，完備化是個正合函子。

此外，完備化也可以用柯西序列構造，得到的對象是自然同構的。

例子

• p進整數是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 對 ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ 的完備化。
• 形式冪級數環 ${\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$ 是多項式環 ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ 對 ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ 的完備化。

文獻

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6