數學中,麥克勞林不等式(Maclaurin's inequality),以科林·麥克勞林冠名,是算術幾何平均不等式的加細。
設 a1, a2, ..., an 是正實數,對 k = 1, 2, ..., n 定義平均 Sk 為
![{\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52842fe5b912838b2aaed8b88b88d74b14cc276a)
這個分式的分子是度數為 n 變元 a1, a2, ..., an 的 k 階基本對稱多項式,即 a1, a2, ..., an 中指標遞增的任意 k 個數乘積之和。分母是分子的項數,二項式係數
。
麥克勞林不等式是如下不等式鏈:
![{\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce3531893632fa4b0f6ee3e9cb58cbd6c55940a)
等號成立若且唯若所有 ai 相等。
對 n = 2,這個給出兩個數通常的幾何算術平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麥克勞林不等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\\\&{}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bfd97a1bb3783e9f70b61ee83f642188cfa4cf)
證明
麥克勞林不等式可用牛頓不等式證明。證明的思路是運用歸納法:
- 首先證明
![{\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156731c4964225ca5b16a9e2f3c70162c670b1b5)
- 也就是:
。
- 這個式子等價於
,
- 也就是:
。因此成立。
- 其次,假設對某個
,已經證明了
,那麼也就等於說證明了:
![{\displaystyle S_{k-1}^{k}\geq S_{k}^{k-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf519ab39e4dd6ede9b4690ce70e7d45ccabab6)
- 牛頓不等式說明,還有:
![{\displaystyle S_{k}^{2}\geq S_{k+1}S_{k-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ec689b905b0c370efaeb6625b64c9b11a20d3f)
- 這個不等式兩邊作k 次乘冪,就得到:
![{\displaystyle S_{k}^{2k}\geq S_{k+1}^{k}S_{k-1}^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333296b24d5316101c4763ce9c984f89fa33d16c)
- 從而:
![{\displaystyle S_{k}^{2k}\geq S_{k+1}^{k}S_{k}^{k-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5405602e70c36a73cdd3fa31a2ec99a5133b224)
![{\displaystyle S_{k}^{k+1}\geq S_{k+1}^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0775f58656bc27c4a012bff1a0dc5806b9ddd8c3)
![{\displaystyle {\sqrt[{k}]{S_{k}}}\geq {\sqrt[{k+1}]{S_{k+1}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdd4af144e26d65f712aef39959ac05beef1551)
於是,綜上所述,可以證明對所有的
,都有:
麥克勞林不等式得證。
參見
參考
本條目含有來自PlanetMath《MacLaurin's Inequality》的內容,版權遵守創用CC協議:署名-相同方式共享協議。