高斯曲率定義於曲面上的度量 / 維基百科,自由的 encyclopedia 微分幾何中,曲面上一點的高斯曲率是該點主曲率κ1和κ2的乘積。它是曲率的內在度量,也即,它的值只依賴於曲面上的距離如何測量,而不是曲面如何嵌入到空間。這個結果是高斯絕妙定理的主要內容。 由左至右:負高斯曲率曲面(雙曲面),零高斯曲率曲面(圓柱面),和正高斯曲率曲面(球面)。 用符號表示,高斯曲率K定義為 K = κ 1 κ 2 {\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!} . 也可以如下給出 K = ⟨ ( ∇ 2 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 2 ) e 1 , e 2 ⟩ det g , {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},} 其中 ∇ i = ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}} 是協變導數而g是度量張量。 R3中的正規曲面的一點p,則高斯曲率為 K ( p ) = det ( S ( p ) ) , {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),} 其中S為形算子。 關於高斯曲率的一個很有用的公式是用等溫坐標中的拉普拉斯算子表達的劉維爾方程。
微分幾何中,曲面上一點的高斯曲率是該點主曲率κ1和κ2的乘積。它是曲率的內在度量,也即,它的值只依賴於曲面上的距離如何測量,而不是曲面如何嵌入到空間。這個結果是高斯絕妙定理的主要內容。 由左至右:負高斯曲率曲面(雙曲面),零高斯曲率曲面(圓柱面),和正高斯曲率曲面(球面)。 用符號表示,高斯曲率K定義為 K = κ 1 κ 2 {\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!} . 也可以如下給出 K = ⟨ ( ∇ 2 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 2 ) e 1 , e 2 ⟩ det g , {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},} 其中 ∇ i = ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}} 是協變導數而g是度量張量。 R3中的正規曲面的一點p,則高斯曲率為 K ( p ) = det ( S ( p ) ) , {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),} 其中S為形算子。 關於高斯曲率的一個很有用的公式是用等溫坐標中的拉普拉斯算子表達的劉維爾方程。