非整數進位制是指底數不是正整數的進位制。對於一個非正整數的底數β > 1,以下的數值:
為
![{\displaystyle x=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}+\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f2f37f371ee286e148c6c4d67e19917915825c)
而數字di為小於β的非負整數。此進位制可以配合所使用β,稱為β進位或β展開,後者的名稱是數學家Rényi在1957年開始使用[1],而數學家Parry在1960年第一個進行相關的研究[2]。每一個實數至少有一個β進位制的表示方式(也可能是無限多個)。
β進位可以應用在編碼理論[3]及準晶體模型的描述[4][5]。
Rényi, Alfréd, Representations for real numbers and their ergodic properties, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1957, 8 (3–4): 477–493, ISSN 0001-5954, MR 0097374, S2CID 122635654, doi:10.1007/BF02020331, hdl:10338.dmlcz/102491 ![可免費查閱](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png)
Parry, W., On the β-expansions of real numbers, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1960, 11 (3–4): 401–416, ISSN 0001-5954, MR 0142719, S2CID 116417864, doi:10.1007/bf02020954, hdl:10338.dmlcz/120535 ![可免費查閱](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png)
Burdik, Č.; Frougny, Ch.; Gazeau, J. P.; Krejcar, R., Beta-integers as natural counting systems for quasicrystals, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1998, 31 (30): 6449–6472, Bibcode:1998JPhA...31.6449B, CiteSeerX 10.1.1.30.5106
, ISSN 0305-4470, MR 1644115, doi:10.1088/0305-4470/31/30/011
Thurston, W.P., Groups, tilings and finite state automata, AMS Colloquium Lectures, 1989