陳類

數學上，特別是在代數拓撲和微分幾何中，陳類（英語：Chern class，或稱陳氏類）是一類複向量叢的示性類，類比於斯蒂弗爾-惠特尼類（英語：Stiefel-Whitney class）作為實向量叢的示性類。

陳類因陳省身而得名，他在1940年代第一個給出了它們的一般定義。

定義

給定一個拓撲空間X上的一個複向量叢E, E的陳類是一系列X的餘調的元素。E的第k個陳類通常記為c_k(E),是X的整數係數的餘調群H^2k(X;Z)中的一個元素，並且滿足如下公理:

公理1. 對於任何${\displaystyle E,\ c_{0}(E)=1\in H^{0}(X;\mathbb {Z} )}$

公理2. 自然性：如果${\displaystyle E\to X}$是一個複向量叢，${\displaystyle f:Y\to X}$是一個連續映射，${\displaystyle f^{*}E\to Y}$是拉回的向量叢，那麼對任意k，${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}(c_{k}(E))\in H^{2k}(Y;{\mathbb {Z} })}$

公理3. 惠特尼求和公式：如果${\displaystyle E_{1},E_{2}\to X}$是兩個複向量叢，那麼它們的直和${\displaystyle E_{1}\oplus E_{2}}$的陳類是

${\displaystyle c_{k}(E_{1}\oplus E_{2})=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E_{1})\cup c_{k-i}(E_{2})}$

公理4. 如果${\displaystyle H\to {\mathbb {P} }^{1}}$是複射影直線上的超平面叢，那麼${\displaystyle c_{1}(H)}$的龐加萊對偶是${\displaystyle 1\in H_{0}({\mathbb {P} }^{1};{\mathbb {Z} })}$

陳數

任何陳類的積分是一個整數，叫陳數，有時候給卷繞數。

在物理學中，陳數有很多應用。例如第一陳數

${\displaystyle \phi =\int c_{1}}$

${\displaystyle e^{i\phi /\hbar }}$

描述阿哈羅諾夫－玻姆效應。第二陳數描述一種流形邊界的陳-西蒙斯理論：

${\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}}$

在物理學中，這有時候被叫做theta term，描述Witten效應、瞬子（第三同倫類）、軸子、Dyon（英語：Dyon）等等。

${\displaystyle S(A)=YM+\theta \int _{M}c_{2}}$

其中的YM是楊-米爾斯的作用量。

陳-西蒙斯理論

陳-西蒙斯形式跟陳類有關：

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{k!}}({\frac {i}{2\pi }})^{k}tr(F^{k})={\frac {1}{k!}}({\frac {i}{2\pi }})^{k}dCS_{2k+1}}$

陳示性

若F是曲率形式，陳示性是

${\displaystyle ch(V)=[tr(\exp(iF/(2\pi ))]}$

而且

${\displaystyle ch(V\oplus W)=ch(V)+ch(W)}$

${\displaystyle ch(V\otimes W)=ch(V)\ ch(W)}$

比方說，若V是U(1)主叢（阿貝爾規範）

${\displaystyle ch(V)=\exp(c_{1}(V))}$

等價定義

同時，有很多處理這個定義的辦法：陳省身最初使用了微分幾何；在代數拓撲中，陳類是通過同倫理論定義的，該理論提供了把E和一個分類空間（在這個情況下是格拉斯曼流形聯繫起來的映射）；還有亞歷山大·格羅滕迪克的一種辦法，表明公理上只需定義線叢的情況就夠了。陳類也自然的出現在代數幾何中。

直觀地說，陳類和向量叢的截面"所需要的0"的個數相關。

殆複流形的陳類和配邊

陳類的理論導致了殆複流形的配邊不變量的研究。

若M是一個複流形，則其切線束是一個複向量叢。M的陳類定義為其切線束的陳類。若M是緊的2d維的，則每個陳類中的2d次單項式可以和M的基本類配對，得到一個整數，稱為M的。

若M′是另一個同維度的近複流形，則它和M配邊，若且唯若M′和M陳數相同.

推廣

陳類理論有個一般化，其中普通的餘調由一個廣義餘調群理論所代替。使得這種一般化成為可能的稱為複可定向的理論。陳類的形式化屬性依然相同，但有一個關鍵的不同：計算線叢的張量積的第一陳類的規則不是各個因子的（普通）加法而是一個形式化群法則（formal group law）。

應用

• 拓撲K-理論
• 陳－韋伊同態

物理學

• 阿哈羅諾夫－玻姆效應
• 軸子
• 楊-米爾斯理論
• 瞬子
• 拓撲量子場論

參考文獻

• Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1946, 47: 85–121, ISSN 0003-486X, MR0015793
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
• Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.