阿達馬不等式

數學中的阿達馬不等式給出一個基於n維複矩陣行向量的行列式值上界。當僅套用於實數時，其可以在歐幾里得空間中，由n支向量${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$, ${\displaystyle \ldots \mathbf {v} _{n}}$標出的體積。'^[1]

這不等式的幾何意義是當向量為正交集時體積最大。這結果相對於純量乘法齊次，所以只需證明單位向量${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, ${\displaystyle \ldots \mathbf {e} _{n}}$的結果。在這情況，不等式指出：若${\displaystyle \mathbf {M} }$是以${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$為列向量的n× n 矩陣，則

${\displaystyle |\det(\mathbf {M} )|\leq 1}$。

因此，向量${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$的相應結果是

${\displaystyle |\det(\mathbf {A} )|\leq \prod \|\mathbf {v} _{i}\|}$，

其中${\displaystyle \mathbf {A} }$是以${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$為列向量的矩陣，而${\displaystyle \|\mathbf {v} _{i}\|}$是${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$的歐幾里得範數（長度）。（就是說若${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle =(x_{k})_{k=1}^{n}}$，則

${\displaystyle \|\mathbf {v} _{i}\|}$${\displaystyle ={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}}$。）

在組合數學中，使等式成立以及列向量${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$的元素為+1和−1的矩陣是研究對象，它們稱為阿達馬矩陣。

參考資料

1. Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. [2021-05-11]. （原始內容存檔於2021-05-13）.

外部連結

• 科學空間：體積與阿達馬不等式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）